师：同学们大家好，欢迎来到数学课堂。今天我们将进入北师大版八年级数学上册第三章第二节第三课时——平面直角坐标系的学习。在学习新课之前，我们先通过几个问题复习回顾一下上一节所学的知识点。如果点(P(x,y))在第一象限，那么它的横坐标(x)、纵坐标(y)应满足什么条件？
生：(x)应大于(0)，(y)也应大于(0)。
师：如果点(P)在第二象限呢？
生：横坐标(x)应小于(0)，纵坐标(y)大于(0)。
师：如果这个点在第三象限呢？
生：(x)、(y)都小于(0)。
师：如果这个点在第四象限呢？
生：(x)应大于(0)，(y)应小于(0)。
师：如果这个点在(x)轴上呢？
生：(x)可以为任意实数，(y)应等于(0)。
师：如果这个点在(y)轴上呢？
生：(x)应等于(0)，纵坐标(y)可以为任意实数。
师：同学们，下面我们通过一个问题引入新知。如图点(A)，请建立适当的平面直角坐标系，并写出点(A)的坐标。
生：有的同学说可以这样建立，此时点(A)的坐标为(( -1,2))。
生：另一个同学说也可以这样建立，此时点(A)的坐标为((1))（此处学生表述似乎有误，推测应是类似((1,某值))的坐标形式，因原始文本如此，暂保留）。
生：还有一些同学说可以点(A)为坐标原点建立这样的坐标系，因此点(A)的坐标为((0,0))。
师：那么你是怎么建立的呢？通过刚才的这道题，我们能有什么感悟？
生：建立平面直角坐标系的方法有很多种，而且如果建立的平面直角坐标系不同，同一个点的坐标也不同。
师：所以我们在建立直角坐标系的时候，可以选择去建立适当的直角坐标系，这样更利于我们解决实际问题。下面我们一起来进入新知的探究。如图，矩形(ABCD)的长、宽分别是(6)、(4)。请你建立适当的坐标系，并写出各个顶点的坐标。同学们，在建立坐标系之前，请思考以下两个问题：一、如何建立坐标系？二、如何求各个顶点的坐标？同学们请试一试，如何建立坐标系呢？
生：可以先确定坐标原点，比如有同学说我可以点(C)作为坐标原点。
师：确定原点之后要怎么做呢？
生：确定(x)轴、(y)轴，比如可以以(CD)所在的直线为(x)轴，以(CB)所在的直线为(y)轴，建立这样的直角坐标系，然后根据条件中给出的线段的长度去表示各个顶点的坐标。
师：请同学们写出(A)、(B)、(C)、(D)四个顶点的坐标。
生：点(C)的坐标最好求，因为点(C)就是坐标原点，因此点(C)的坐标为((0,0))。点(D)在(x)轴上，(CD = 6)，因此点(D)的坐标为((6,0))。点(B)在(y)轴上，(CB = 4)，因此点(B)的坐标为((0,4))。
师：同学们思考一下点(A)的坐标怎么求呢？
生：可以分别过点(A)向(x)轴、(y)轴作垂线，垂足与(x)轴上所对应的数为(6)，与(y)轴上所对应的数为(4)，因此点(A)的坐标为((6,4))。
师：请同学们写出这一题的解答过程。
（同学们写好后）
师：这是老师写好的过程，我们一起来核对一下。解：如图，以点(C)为坐标原点，分别以(CD)、(CB)所在的直线为(x)轴、(y)轴建立直角坐标系，此时点(C)的坐标为((0,0))。因为(AB = CD = 6)，(BC = AD = 4)，所以点(A)的坐标为((6,4))，点(B)的坐标为((0,4))，点(D)的坐标为((6,0))。同学们思考一下，除了这种建立直角坐标系的方法，还可以怎么建立呢？
生：可以点(B)或者点(A)或者点(D)为直角坐标系的原点建立直角坐标系。当然也可以以(AB)边的中点为坐标原点，建立直角坐标系。
师：老师这边展示几位同学的(4)种做法。请同学们观察一下并思考，在这(4)种方法里面，你更喜欢哪一种方法呢？
生：有的同学认为前三种做法更好一些。因为这三种做法矩形的三个顶点都落在坐标轴上，而且其中一个顶点还是坐标原点，矩形的两条边都在坐标轴上。这样做更有利于我们求出各个顶点的坐标，并且点的坐标简便易算。
师：所以我们通过这道题可以体会出以特殊线段所在的直线为坐标轴，更利于我们求出图形中的顶点的坐标。同学们，请你课后将以上四种方法里各个顶点的坐标写出来。如果老师将刚才的矩形改成边长为(6)的正三角形(ABC)，那么你能找到适当的方法建立平面直角坐标系，并写出三角形的三个顶点的坐标吗？请你动手试一试，并尝试找出尽可能多的方法。
生：我喜欢以边(AB)的中点为原点，以(AB)边所在的直线为(x)轴，以(AB)边的中垂线为(y)轴，建立这样的平面直角坐标系。
师：你能否帮他写出三角形的三个顶点的坐标呢？
生：(A)、(B)、(C)三个点都在坐标轴上，所以它们至少有一个坐标为(0)。观察发现，(AO = BO = 3)。由于点(A)、(B)都在(x)轴上，因此它们的纵坐标为(0)。即点(A)的坐标是(( -3,0))，点(B)的坐标是((3,0))。
师：那么点(C)的坐标应该怎么求呢？
生：通过观察发现三角形(AOC)是直角三角形，在这个直角三角形中，斜边(AC)的长等于(6)，直角边(AO)的长等于(3)。根据第一章里面学习的勾股定理的知识，可以快速地求出(CO)的长。(CO = \sqrt{AC^{2} - AO^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3})。由此可以得出点(C)的坐标是((0,3\sqrt{3}))。