师：同学们大家好，今天让我们一起来学习人教版数学六年级上册第八单元数学广角例 2 的内容。上课前，请同学们准备好数学书、练习本和文具。以下是今天的学习目标，请同学们特别注意在解决问题中的探索过程。好了，我们开始上课。
在上节课中，同学们在图形中看到了数，在数中想到了图形。数中有形，形中有数，今天让我们一起来继续探索数与形的魅力。大家先看这个算式，它有什么特点呢？
生：首先可以看到这个算式从第二个加数开始，每个加数都是前一个的一半。并且这个算式有无数个加数，可以一直加下去，无穷无尽。
师：非常好。像这样的算式我们以前从未接触过，那今天老师就和你们一起来探索这个算式的结果。这样无限地一直加下去，最后的结果会是多少呢？首先，我们按运算顺序来算一算，1/2 加 1/4 等于 3/4，再加 1/8 等于 7/8，再加 1/16 等于 15/16，再加 1/32 等于 31/32，再加 1/64 等于 63/64。大家看看每一步的结果有什么特点？
生：每一步结果分子都比分母少一。如果将每步结果都跟 1 去进行比较，可以发现每步结果与 1 的差都跟这一步最后一个加数相等，并且每一步结果与 1 的差都是上一步的 1/2，与 1 越来越近，得数就越来越接近 1。
师：有同学认为得数是一个很接近 1 的数，这种想法有没有道理呢？这样无限地一直加下去，最后的结果到底是多少呢？只看数字，我们可能感受不深，很难想象是什么情况。这时，我们可以尝试用图把这个算式表达出来，用图来帮助我们分析。请同学们拿出练习本，选择一个熟悉的图形，尝试把这个算式画出来。怎么画呢？我们一起来看。首先选择一个图形，比如正方形、圆或者线段，把它看作单位“1”。先画出这个图形的 1/2，然后用空白部分画出这个图形的 1/4，这两部分合起来就表示 1/2 加 1/4 的和。再利用空白部分画出这个图形的 1/8，这三部分合起来就表示 1/2 加 1/4 加 1/8 的和。再利用空白部分画出这个图形的 1/16，这四部分合起来就表示 1/2 加 1/4 加 1/8 加 1/16 的和。如此类推，就可以继续画下去。下面请同学们来试一试。
（学生尝试画图）
师：好了，下面老师和大家一起来画一画。老师选择用正方形，把这个正方形看作是一个边长为 1 的正方形地板，那么这个正方形地板的面积就是 1。下面我们就把一块一块的地砖放进去，先放进去一块面积是 1/2 的地砖，再放进去一块面积是 1/4 的地砖，如此类推，依次把 1/8、1/16、1/32、1/64 等等的地砖放进去。同学们，有什么发现吗？
生：有同学认为这个和是一个很接近 1 的数，有同学认为这个和就是 1。
师：正确答案是这个算式的和就等于 1。为什么会产生争议呢？就是在我们放入地砖的过程中好像有一个洞。下面我们回顾放入地砖的过程，请同学们注意观察图形中空白的部分。因为好像有一个越来越小的洞，感觉还能往里面装下数，所以有同学认为得数差一点不到 1。但实际上当加数无穷无尽的时候，这个洞根本什么数都装不下。为什么这么说呢？比如说当算式加到 1/64 的时候，你觉得这个洞能装得下 1/64，但实际上当算式加到 1/128 的时候，这个洞就装不下 1/64 了。1/2 加 1/4，一直加到 1/128 的和是 127/128，这个洞只剩下 1/128，而 1/128 小于 1/64，所以这个洞装不下 1/64。那再小一点的数，你觉得这个洞能够装得下 1/1000 吗？实际上，当这个算式加到 1/1024 的时候，这个洞就装不下 1/1000 了，因为从 1/2 一直加到 1/1024 等于 1023/1024，这时候这个洞只剩下 1/1024，1/1024 小于 1/1000，所以这个洞装不下 1/1000。那再小一点，这个洞能够装得下 1/10000 吗？实际上当算式加到 1/16384 的时候，这个洞就装不下 1/10000 了。更小的数，这个洞能够装得下 1/100000000 吗？实际上当算式加到 1/134217728 的时候，这个洞就装不下 1/100000000 了。所以无论你觉得这个洞能够装得下多么小的数，当这个算式加到某个加数的时候，你认为的这个数再小也装不进这个洞里面去。也就是说当算式一直加下去，这个洞什么数都装不下。所以整个正方形最终会被装得满满的，没有空隙。这个正方形的面积是 1，整个正方形装满了，这就表示这个算式的结果等于 1。