师：同学们，今天我们学习九年级人教版数学第26章反比例函数复习课。本课学习目标是了解本章知识结构，理解并掌握主要知识点及其应用。学习重点是反比例函数的图像和性质，难点是反比例函数的综合应用。我们先来了解本章知识结构图。
本章从现实世界中的反比例关系归纳、抽象出反比例函数解析式$y = \frac{k}{x}$（$k\neq0$），然后研究其图像和性质，利用这些解决实际应用问题，最后再回归到现实世界中的反比例关系。
下面我们以问题的形式回顾本章主要知识点。
问题一：举例说明什么是反比例函数？
生：比如当路程确定时，时间$t$是速度$v$的反比例函数；当面积确定时，矩形的长度$a$是宽度$b$的反比例函数；当购物总价确定时，物品的单价$m$是购买数量$n$的反比例函数。工程问题、力学问题、电学问题中也有很多反比例函数的实例。
问题二：反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图像是什么样的？有什么性质？
生：反比例函数图像是双曲线。当$k\gt0$时，$x$、$y$同号，图像在一、三象限，在每一象限内，$y$随$x$增大而减小；当$k\lt0$时，$x$、$y$异号，图像在二、四象限，在每个象限内$y$随$x$增大而增大。
问题三：与一次函数相比，反比例函数有哪些特殊之处？
生：反比例函数自变量范围是非零实数，变化不连续；一次函数自变量范围是全体实数，变化连续。反比例函数图像是两条曲线，即双曲线；一次函数图像是一条直线。反比例函数性质为当$k\gt0$时，在每个象限内$y$随$x$增大而减小，$k\lt0$时，在每个象限内$y$随$x$增大而增大；一次函数性质是当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大，$k\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。
下面我们以例题的形式来学习重点知识点的应用。
应用一：反比例函数的定义。
例一：若$y = (a + 1)x^{a^2 - 2}$是反比例函数，则常数$a$的值是多少？
师：因为$y = (a + 1)x^{a^2 - 2}$是反比例函数，所以$x$的次数$a^2 - 2 = -1$，解得$a = \pm1$。又因为系数$a + 1\neq0$，所以$a\neq - 1$，所以$a = 1$，答案选A。
应用二：反比例函数的图像和性质。
例2：下列关于反比例函数$y = -\frac{3}{x}$的说法正确的是？
师：我们先来逐项进行分析解答，首先画出$y = -\frac{3}{x}$的图像。
生：A选项，在自变量范围内，反比例函数不具备$y$随$x$的增大而增大，应表述为在每一象限内$y$随$x$的增大而增大；B选项，当$x = 2$时，代入解析式算得$y = -\frac{3}{2}$，所以函数图像不过点$(2,\frac{3}{2})$；C选项，由$k = - 3$可知图像位于第二、四象限；D选项，当$x\gt0$时，据图像在第四象限，$y$随$x$的增大而增大，所以答案选D。
应用三：反比例函数$k$的几何含义。
例3：如图，点$A$为反比例函数$y = -\frac{4}{x}$图像上的一点，过点$A$作$AB$垂直$x$轴于$B$，则$\triangle OAB$的面积是多少？
师：首先我们先来分析题意，已知反比例函数解析式求三角形的面积，我们不妨设$A$点的坐标为$(m,n)$，因为$A$在反比例函数图像上，所以$m\times n = - 4$。又因为$\triangle OAB$的面积等于$\frac{1}{2}OB\times AB$，而$OB$的值等于$\vert m\vert$，$AB$的值等于$\vert n\vert$，所以等于$\frac{1}{2}\vert m\vert\times\vert n\vert = \frac{1}{2}\vert mn\vert = \frac{\vert - 4\vert}{2}$，所以$\triangle OAB$的面积等于$2$。
通过例3的解题过程，我们可以归纳总结出$\triangle OAB$的面积等于$\frac{\vert k\vert}{2}$。
下面我们来看例3的变式，如图，点$A$为反比例函数$y = \frac{k}{x}$图像上的一点，过点$A$作$AB$垂直$x$轴于$B$，若$\triangle OAB$的面积等于$3$，求$k$值。
师：首先我们先来分析题意，已知三角形的面积求$k$值。由刚才的解题过程我们可得出，$\triangle OAB$的面积等于$\frac{\vert k\vert}{2} = 3$，所以$\vert k\vert = 6$。又因为图像在二、四象限，所以$k\lt0$，所以$k = - 6$。
应用四：两个变量的变化及对应。
例4：已知反比例函数$y = \frac{10}{x}$。
问题一：当$1\lt x\lt2$时，$y$的取值范围是多少？
师：首先我们先画出$y = \frac{10}{x}$的图像。结合图像分析，其实就是在求直线$x = 1$和直线$x = 2$所夹部分图像的$y$的取值范围。
生：因为当$1\lt x\lt2$时，$y$随$x$增大而减小，所以当$x = 1$时，$y$最大等于$10$；当$x = 2$时，$y$最小等于$5$。所以当$1\lt x\lt2$时，$5\lt y\lt10$。
问题二：当$x\lt1$时，$y$的取值范围是多少？
师：实质是在求直线$x = 1$左侧部分图像对应的$y$的取值范围，而左侧部分图像分为两部分。
生：第一部分，当$0\lt x\lt1$时，$y$随$x$增大而减小，所以当$x = 1$时，$y$最小等于$10$，所以当$0\lt x\lt1$时，$y\gt10$；第二部分图像，即$x\lt0$时，图像在第三象限，所以$y\lt0$，所以$y\gt10$或者$y\lt0$。
问题三：当$y\lt5$时，$x$的取值范围是多少？
师：实质是在求直线$y = 5$下方部分对应的图像的$x$的取值范围，而下方部分分为两部分。
生：第一部分，当$0\lt y\lt5$时，$y$随$x$增大而减小，所以当$y$取最大$5$时，$x$最小等于$2$；第二部分，当$y\lt0$时，图像在第三象限，$x\lt0$，所以$x\gt2$或者$x\lt0$。
应用五：利用图像和增减性比较函数值的大小。
例5：若点$A$坐标为$(-5,y_1)$，$B$点坐标为$(-2,y_2)$，$C$点坐标为$(1,y_3)$在反比例函数$y = \frac{3}{x}$的图像上，比较$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小。
师：首先我们先来分析题意，已知反比例函数的解析式及$A$、$B$、$C$三点的横坐标，要比较纵坐标的大小。
生：可采用方法一：代入法，把$A$、$B$、$C$三点的横坐标分别代入反比例函数解析式求出$y_1 = - 0.6$，$y_2 = - 1.5$，$y_3 = 3$，再比较其大小，可得$y_2\lt y_1\lt y_3$。
师：同时我们也可以采用方法二：利用反比例函数的增减性比较大小。
生：首先画出反比例函数$y = \frac{3}{x}$的图像，因为$k = 3$，图像位于一、三象限。我们在$x$轴上找到横坐标为$-5$、$-2$、$1$对应的点，过点作$x$轴的垂线，与双曲线的交点分别为$A$、$B$、$C$三点。由图像可知，$A$、$B$位于第三象限，$C$位于第一象限，所以$y_1\lt0$，$y_2\lt0$，$y_3\gt0$，所以$y_3$最大。又因为当$k\gt0$时，当$x\lt0$时，$y$随$x$增大而减小，因为$-5\lt - 2$，所以$y_1\gt y_2$，所以$y_2\lt y_1\lt y_3$。