师：同学们，今天我们学习田忌赛马，请准备好数学书、练习本和常用文具。这是今天的学习目标，现在开始上课。同学们，你们听过田忌赛马的故事吗？下面我们一起来听听。
齐国的大将田忌喜欢赛马，有一回，他和齐王约定进行一场比赛。他们商量好，把各自的马分成上、中、下三等。比赛时，上马对上马，中马对中马，下马对下马。由于齐王每个等级的马都比田忌的马强一些，三场比赛下来，田忌都失败了。田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场。这时，孙膑对田忌说：“你再同他赛一次，我有办法准能让你赢了他。”田忌说：“那还不是照样得输？”孙膑说：“你就按我的安排行事吧。”
比赛开始，齐王出上等马，孙膑让田忌出下等马，第一场齐王胜。接着，齐王出中等马，孙膑让田忌出上等马，第二场田忌胜。最后，齐王出下等马，田忌出中等马，第三场田忌胜。比赛结果，田忌胜两场输一场，由于比赛规则是三局两胜，所以田忌赢了。
齐王还是原来的马，只是田忌调换了一下出场顺序，就转败为胜。田忌选用了一种能获胜的策略，这就是对策。今天我们就来研究一门重要的学问——对策问题。
同学们已经了解了田忌赛马的故事，如果我们用星星来表示齐王和田忌每一匹马的实力，该怎么表示呢？如果齐王的上等马用6颗星表示，那么田忌的上等马就用5颗星表示。想一想，齐王的中等马用几颗星表示呢？
生：齐王的中等马可以用4颗星表示。
师：非常好，那么田忌的中等马就用3颗星表示。按照这样的表示方法，齐王的下等马用2颗星表示，田忌的下等马就用1颗星表示。这样就很容易看出，同一个等级的马，齐王都比田忌强一些。不同等级的马，上等马比中等马强一些，中等马比下等马强一些。
下面我们把两次比赛的情况分别用表格表示出来。第一次比赛，他们用同等级的马进行比赛，由于齐王每一个等级的马都比田忌的强一些，所以三场比赛都是齐王胜。第二次比赛是怎样反败为胜的呢？
生：第一场田忌先用自己最弱的下等马对齐王的上等马，齐王胜；第二场田忌用上等马对齐王的中等马，田忌胜；第三场，田忌用中等马对齐王的下等马，田忌胜。
师：田忌虽然不是全胜，为什么说他赢了？
生：因为比赛规则是三局两胜，在三场比赛中，田忌胜了两场，所以田忌赢了。
师：对比两次比赛，你知道田忌在第二次比赛中获胜的法宝是什么吗？
生：田忌用自己最弱的下等马对齐王最强的上等马，这样可以使对方最强的马发挥最小的作用。
师：请同学们想一想，田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？下面我们一起来看看田忌共有多少种可采用的应对策略，想想怎样才能把田忌的各种应对策略有序、不重复、不遗漏地列举出来呢？我们可以用表格把各种情况记录下来，假设齐王的马出场顺序不变，分别是上等马、中等马、下等马。
第一种应对策略，派出同等级的马与齐王对阵，结果三场皆输，最后获胜方是齐王。
第二种应对策略，先固定第一场出上等马，齐王胜，把第二场和第三场的马交换，第二场出下等马齐王胜，第三场出中等马田忌胜。这样齐王胜两场输一场，最后获胜方也是齐王。
第三种应对策略，第一场出中等马齐王胜，第二场出上等马田忌胜，第三场出下等马齐王胜，最后获胜方还是齐王。
第四种应对策略，第一场仍然出中等马齐王胜，第二场出下等马齐王胜，第三场出上等马田忌胜，最后获胜方仍然是齐王。
第五种应对策略，第一场出下等马齐王胜，第二场出上等马田忌胜，第三场出中等马田忌胜，最后获胜方是田忌。
第六种应对策略，第一场仍然出下等马齐王胜，第二场出中等马齐王胜，第三场出上等马田忌胜，最后获胜方仍然是齐王。
我们不难发现，田忌一共有6种不同的应对策略，但只有第五种应对策略是唯一能赢齐王的方法。想一想为什么只有这种策略田忌才能赢齐王呢？
生：先看第一场比赛，由于齐王的上等马是最强的，所以无论田忌派什么马对齐王的上等马，第一场都是必输无疑的。田忌要想最后赢得比赛，后两场必须保留实力获得全胜，这样田忌只能以最弱的下等马对齐王最强的上等马，使对方最强的马发挥最小的作用，然后再有目标地派出每一匹马，才能确保赢下后两场比赛，最终取得整体的胜利。
师：如果不知道齐王的出场顺序，田忌还有必胜的策略吗？