师：同学们好，今天我们一起来学习平行线的性质第二课时。首先了解一下学习目标：第一，同学们要理解平行线的性质 2；第二，经历平行线性质 2 的探究过程，体会研究几何图形的一般方法；第三，能运用平行线性质解决实际问题。本节课的学习重点是平行线的性质 2 及其推导过程。
在学习新课前，我们回顾一下上节课学过的平行线性质。还记得用到哪些方法去验证吗？性质一是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。证明方法有用量角器测量角度、剪一组同位角进行叠合，以及借助几何画板演示辅助验证。
这节课我们先看一道情境题。如图，一条公路两次拐弯后和原来的方向相同。如果第一次的拐角 a 是 135 度，那么第二次的拐角 b 是多少度呢？为什么？大家分析一下，题目隐藏条件是一条公路拐弯之后和原来方向相同，这说明了什么？
生：两条公路平行。
师：对，我们在图中勾勒一下角 a 和角 b 在两条平行线间的数量关系，很显然它们是一组内错角。那这节课我们就来研究两条平行线被第三条直线截得的内错角之间有怎样的数量关系，以此解答这道题。
我们继续使用几何画板来探究平行线性质 2，看看内错角之间有什么变化。大家仔细观察，给出直线 a 平行于直线 b，它们被直线 c 所截。老师任选了一组内错角，标记出角 1 和角 2，测量出来，大家看度数已经相等了。在两直线平行的前提下，用上节课的方法，改动截线位置，它时而变大，时而变小，但截线位置确定之后，这组内错角的数量关系是相等的。由此，我们可以大胆猜测，两条平行线被第三条直线所截，内错角是什么关系呢？
生：相等。
师：对，和平行线性质 1 很类似。同学们，能不能用上节课所学的平行线性质 1 进行推导呢？如图，已知 a 平行于 b，请说明角 2 与角 3 相等。大家看一下图中的位置关系，角 3 和角 2 是一组内错角，怎么利用两直线平行同位角相等这个性质来说明它们的数量关系呢？
生：图中角 1 等于角 2，因为两直线平行同位角相等；角 1 和角 3 是对顶角，对顶角相等，所以能推导出角 2 和角 3 相等。
师：非常好，在这里角 3 起到了桥梁的作用。我们来写一下推理过程：因为 a 平行于 b，所以角 1 等于角 2，依据是两直线平行，同位角相等；又因为角 1 和角 3 是对顶角，所以角 1 等于角 3，依据是对顶角相等。大家看，这两个等式中谁是等量？
生：角 1。
师：对，我们把角 1 等量替换掉，所以角 2 等于角 3，这里用到了等量代换。这个几何用词在后续证明中会反复用到。通过这道题，我们在两直线平行的前提下，利用平行线的性质 1 和对顶角相等，证明了内错角是相等的。
由此，我们确定平行线性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成两直线平行，内错角相等。重点来了，书本上没有标志几何语言，大家留心做好笔记。我们把它改成符号语言，体现数学表达的简洁性：因为 a 平行于 b，所以内错角∠2 = ∠3。
现在我们回到课前引入的那道题来解决它。大家重温一下，题目开篇说公路拐弯后方向不变，这是个隐含条件，说明公路代表的直线是平行的。老师做了标记，方便几何推理说理。证明时要加上如图所示。再看角 a 和角 b 的位置关系，很明显是平行线间的内错角，已知角 a = 135 度，所以我们能推出角 b 的度数是多少？
生：135 度。
师：对，我们把整个过程重新梳理一遍。问答题首先回答第二次拐角 b = 135 度，理由如下：公路方向相同，可看成一组平行线，如图所示，AC 平行 BD，已知角 a = 135 度，运用平行线性质 2 可得角 b = 角 a = 135 度，依据就是两直线平行，内错角相等。这道题是平行线性质 2 的直接应用，大家学到的知识马上得到了应用。
至此，我们学了平行线的两个性质，老师跟大家一起整理一下。性质 1：两直线平行，同位角相等，几何语言要完整写清楚，关键性理由不能省略。性质 2：两直线平行，内错角相等，图中的内错角要写明，比如角 3 和角 1 这样。大家留意观察，性质 1 和性质 2 前提条件一样，结论中位置关系一个是同位角，一个是内错角，但数量关系都是相等的，要注意联系和区分。
下面进入例题展示，请大家读题。平行线 a 平行于 b，角 1 = 50 度，求角 2、角 3 的度数。我们先看角 2，两直线平行，它和角 1 是什么关系？
生：内错角关系。
师：对，根据平行线性质 2 可推出角 2 的度数。再看角 3，两直线平行，它和角 1 是什么关系？
生：同位角关系。
师：所以也很容易推理出角 3 的度数。那角 2 和角 3 分别是多少度呢？
生：角 2 = 50 度，角 3 = 50 度。
师：对，解题过程这样写：因为 a 平行于 b，角 1 = 50 度（已知条件），根据两平行线间内错角相等，同位角相等，可得出角 2 = 角 1 = 50 度，角 3 = 角 1 = 50 度。这道题很好地应用了平行线性质 1 和平行线性质 2，大家注意它们的联系和区别，辨别角度、书写理由时不要混淆搞错顺序。