师：同学们，今天我们来学习一次函数习题专题课——一次函数与图形面积。首先复习一些一次函数的相关知识。第一题，一次函数的图像是什么？
生：是一条直线。
师：对。第二题，一次函数(y = kx + b)（(k\neq0)）与(x)轴的交点坐标是什么？与(y)轴的交点坐标又是什么？
生：与(x)轴交点(B)的坐标为((-\frac{b}{k},0))，与(y)轴交点(A)的坐标为((0,b))。
师：非常好。第三题，观察点(A)、(B)的纵坐标相同，这说明什么？线段(AB)的长度怎么求呢？同样，点(C)、(D)横坐标相同，又说明什么？线段(CD)的长度怎么求？
生：点(A)、(B)纵坐标相同，说明线段(AB)平行于(x)轴，线段(AB)的长为(\vert x_2 - x_1\vert)。点(C)、(D)横坐标相同，说明线段(CD)平行于(y)轴，线段(CD)的长为(\vert y_3 - y_4\vert)。
师：没错。第4题，直线(y = kx + b)与直线(y = mx + n)的交点(A)的坐标怎么求？
生：是由这两个一次函数解析式组成的方程组的解。
师：很好。接下来我们共同学习第一部分——一次函数中静态图形面积问题。例一，已知一次函数(y = -2x - 4)的图像与(x)轴、(y)轴分别交于点(A)、(B)。第一问，求(\triangle OAB)的面积。我们怎么求呢？
生：由函数解析式求与坐标轴的交点坐标，(A)的坐标为(( -2,0))，(B)的坐标为((0, -4))，则线段(OA = 2)，(OB = 4)，(\triangle AOB)的面积等于两条直角边相乘除以(2)，即(S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×2×4 = 4)。
师：非常正确。第二问，直线经过点(P(-3,a))，怎么求(a)的值呢？又怎么求(\triangle OAP)的面积？
生：把点(P)代入解析式(y = -2x - 4)，可得(a = -2×(-3) - 4 = 2)。观察(\triangle OAP)，三边中(OA)边与(x)轴重合，以(OA)为底，过点(P)作(PD)垂直(x)轴于点(D)，(\triangle OAP)的面积等于(\frac{1}{2}×OA×PD=\frac{1}{2}×2×2 = 2)。
师：很棒。下面我们来看例2。已知直线(y = x + 5)和直线(y = -3x + 3)相交于点(A)。直线(y = x + 5)与(x)轴、(y)轴分别相交于点(B)、点(D)。直线(y = -3x + 3)与(x)轴相交于点(C)。第一问，求(\triangle ABC)的面积。大家思考下怎么做？
生：由直线(y = x + 5)可得点(B)的坐标为(( -5,0))，点(D)的坐标为((0,5))；由直线(y = -3x + 3)可得点(C)的坐标是((1,0))。联立方程组(\begin{cases}y = x + 5\y = -3x + 3\end{cases})，解得点(A)的坐标是((-\frac{1}{2},\frac{9}{2}))。观察边(BC)与(x)轴重合，以(BC)为底，过点(A)作(AM)垂直(x)轴与点(M)，(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×BC×AM=\frac{1}{2}×(1 - (-5))×\frac{9}{2}=13.5)。
师：非常好。第二问，过点(D)、(C)做一条直线，求(\triangle ADC)的面积。这题有点难度，大家想想办法。
生：(\triangle ADC)三条边没有与坐标轴平行的，可以用割补法中的补形作差法来解。(\triangle ADC)面积可以看成由(\triangle BDC)面积减去(\triangle ABC)面积得到。(S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}×BC×OD=\frac{1}{2}×6×5 = 15)，第一问求得(S_{\triangle ABC}=13.5)，所以(S_{\triangle ADC}=15 - 13.5 = 1.5)。
师：思路很清晰。那除了补形作差法，还有其他方法吗？
生：还可以用割补法中的分割求和法。用(y)轴将(\triangle ADC)分割成(\triangle ADE)和(\triangle DCE)。(\triangle ADC)的面积等于(\triangle ADE)的面积加(\triangle DCE)的面积。(\triangle ADE)和(\triangle CDE)都可以用与(y)轴重合的(DE)作底，再分别作(DE)边上的高(AF)和(CO)。(S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}×DE×AF)，(S_{\triangle DCE}=\frac{1}{2}×DE×OC)，即等于(\frac{1}{2}×DE×(AF + OC))。而(AF + OC = CG)，即等于(\frac{1}{2}×DE×CG)。由题可知，点(D)的坐标为((0,5))，点(E)是直线(AC)与(y)轴的交点，通过直线(AC)的解析式(y = -3x + 3)，可求得点(E)的坐标为((0,3))，从而求得(DE)的长为(2)，容易得到(CG)的长等于(1 - (-\frac{1}{2}) = 1.5)。所以(S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×2×1.5 = 1.5)。
师：非常棒，大家对割补法掌握得很好。接下来我们学习第二部分——一次函数中动态图形面积问题。例3，已知直线(y = kx + b)与(x)轴交于点(A)，经过点(P(2,2))且(\triangle OAP)的面积为(4)，求此直线的解析式。大家思考下怎么做？
生：连接(OP)，因为点(P)在(x)轴上方，点(A)可以在点(O)的右侧，也可以在点(O)的左侧。(\triangle OAP)的面积可以用(OA)为底，(PQ)（(Q)为(P)到(x)轴的垂足）为高。已知(\triangle OAP)的面积等于(4)，高(PQ = 2)，可求得(OA)的长等于(4)，所以点(A)的坐标为((4,0))或(( -4,0))。再由点(P)、点(A)的坐标求出函数解析式，即(y = -x + 4)或(y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3})。
师：非常正确。我们来看例4，如图，直线(y = -\frac{1}{2}x + 1)与(x)轴，(y)轴分别交于(A)、(B)两点，(C)坐标是((1,2))。坐标轴上是否存在点(P)使(S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABC})？若存在，请求出点(P)的坐标。若不存在，请说明理由。大家先思考怎么求(\triangle ABC)的面积？
生：可以用补形作差法。(\triangle ABC)面积等于梯形(OACB)的面积减去直角三角形(AOB)减去直角三角形(BCD)（(D)为(C)到(x)轴的垂足）的面积，最后等于(\frac{3}{2})。