师：同学们，大家好。今天我们学习的内容是等腰三角形第二课时。本节课的学习目标是：一、阐述推证等腰三角形的判定定理；二、运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算。学习重点是等腰三角形判定定理的证明及其运用。上节课我们已经学习过等腰三角形的性质，谁来说说等腰三角形有哪些性质呢？
生：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
师：非常好。那么运用这些性质的前提是什么呢？
生：这个三角形是等腰三角形。
师：对。那如何判定一个三角形是等腰三角形呢？
生：可以利用定义，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
师：没错，除了这种方法，还有其他判定方法吗？这就是我们这节课要学习的重点内容。下面请同学们看这个情景。如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B = ∠C。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点？这里不考虑风浪的因素。
生：因为两艘救生船速度相同，同时出发，所以关键看它们的航程是否相等。
师：对，这是一个生活实际问题，从数学角度看，上面的问题相当于在△ABC中，∠B = ∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系呢？下面我们一起来探讨这个问题。首先，请同学们画一个△ABC，其中∠B = ∠C = 30°。请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么关系呢？
生：可以利用三角板的30°角画出这个三角形，通过度量发现，∠B = ∠C = 30°时，AB = AC。
师：很好，如果把条件中的30°删去，请同学们再画一个△ABC，其中∠B = ∠C ，这个时候AB和AC的数量关系会改变吗？你能得出什么结论？
生：通过反复思考和操作，发现∠B = ∠C时，AB = AC。
师：这个结论我们通过归纳总结可以得到一个命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，可以简称为“等角对等边”，注意不能说成“两个底角相等的三角形是等腰三角形”，因为还没证出这个三角形是等腰三角形，就没有“底角”这种说法。下面请同学们思考如何证明上面的命题，请画出图，写出已知、求证。
生：已知，如图，在△ABC中，∠B = ∠C，求证AB = AC。
师：我们一起来分析这个题目。已知∠B = ∠C，要证明AB = AC，我们可以想到三角形全等。那如何去构造全等三角形？应该添加怎样的辅助线呢？
生：作∠BAC的角平分线AD。
师：我们来看看这种方法是否行得通。因为AD平分∠BAC，所以∠1 = ∠2。又因为∠B = ∠C，公共边AD = AD，根据AAS我们可以证出△ABD ≌ △ACD，从而得到AB = AC。那还有第二种方法吗？
生：作AE⊥BC。
师：这种方法可行吗？因为AE⊥BC，所以∠AEB = ∠AEC = 90°，又因为∠B = ∠C，且AE = AE，同样根据AAS可以得到△ABE ≌ △ACE，所以AB = AC。那还有第三种方法吗？
生：做BC边上的中线。
师：添加BC边上的中线AF这条辅助线可以吗？因为AF平分BC，所以BF = CF，又因为∠B = ∠C，AF = AF。但是这里的∠B和∠C并不是AF与BF以及AF与CF的夹角，由于SSA不能够作为三角形全等的判定方法，所以不能添加BC边上的中线AF直接得到AB = AC，这一点希望同学们要注意。下面我们把前面两种方法的详细过程写出来。
师：这是证法一：证明：过点A作AD平分∠BAC交BC于点D，所以∠1 = ∠2。在△ABD和△ACD中，因为∠B = ∠C，∠1 = ∠2，AD = AD，所以△ABD ≌ △ACD，所以AB = AC，也就是△ABC是等腰三角形。
师：下面来看证法二：过点A作AE⊥BC，交BC于点E，所以∠AEB = ∠AEC = 90°。在△ABE和△ACE中，∠B = ∠C，∠AEB = ∠AEC，AE = AE，所以△ABE ≌ △ACE，从而得到AB = AC，也就是△ABC是等腰三角形。
师：从前面的探索和证明，我们可以得到等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。它的符号语言可以写成，在△ABC中，因为∠B = ∠C，所以AB = AC，理由是“等角对等边”，即△ABC为等腰三角形。
师：下面我们对等腰三角形的判定定理进行辨析，请看图。因为∠1 = ∠2，所以BD = CD；再来看图2，因为∠1 = ∠2，所以CD = BC，这样的推理正确吗？
生：都不正确，因为图1、图2中两个相等的角都不在同一个三角形中。
师：对，所以要用到等腰三角形的判定时，“等角对等边”的前提是在同一个三角形中。好了，我们已经学习了等腰三角形的性质和判定，那么等腰三角形的性质和判定有什么区别与联系呢？首先从条件来看，性质的条件是在一个三角形中如果有两条边相等，它的结论是这两条边所对的两个角相等。性质是从边相等推到角相等，所以简称为“等边对等角”，它的符号语言是因为AB = AC，所以∠B = ∠C。我们再来看判定的条件，在一个三角形中，如果有两个角相等，它的结论是这两个角所对的两条边也相等，判定是从角相等推到边相等，所以它的简称是“等角对等边”，它的符号语言是因为∠B = ∠C，所以AB = AC。下面我们对等腰三角形的判定进行运用。首先请看例题一：求证，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。这是一个命题，我们首先把这个命题的题设和结论写出来。