师：同学们好，今天我们来学习第20章数据的分析小结单元复习课。本节课学习目标有：会求加权平均数、众数、中位数，并能选择适当统计量表示数据集中趋势；会计算方差，用其表示数据离散程度；了解统计学发展。之前，我们用平均数、加权平均数评估演讲比赛选手水平能力，加入众数、中位数对马拉松比赛选手综合成绩分析，还在农科院玉米试验田用样本方差估计总体方差，推测适宜种植地区。这节课我们进一步了解相关统计学知识。
前几天学校发布公告，将举办数学实验技能比赛，赛制要求：参加对象为全体初二年级同学；比赛内容是个人笔试和小组实验操作测试。消息一出，同学们很感兴趣。老师带领大家分成5个小组，组织了一次班级模拟赛，随机选两个小组13名同学的比赛成绩分析。第一轮笔试，两个小组笔试成绩如下。通常收集数据后，能用哪些统计量分析数据呢？我们会用平均数、众数、中位数评估一组数据平均水平，利用方差衡量数据波动大小，根据离散程度判断稳定性，还能通过样本数据分析推测总体情况。现在我们来分析甲乙两组数据。
首先计算两组笔试平均分。平均数常用于表示统计对象一般水平，是描述数据集中位置的统计量。把甲组7个数据的和除以7，得到甲组笔试平均分为88。同样方法算出乙组平均分为85。从算数平均数看，甲组优胜于乙组。算出两组同学成绩总平均分，即13个数据的平均数，约等于86.62分。
大家思考，三组平均分谁更接近班级平均水平呢？显然13名同学的笔试总平均分更能体现班级总体平均水平，因为样本容量越大，用样本平均数估计总体平均数越准确。笔试后进行第二轮小组实验操作测试，测试分如下。若笔试平均分与小组操作得分按4 : 6的权重，怎么计算两组加权平均分呢？加权平均数中各数据的权代表数据重要程度。加权平均数计算方法是各数据分别乘以对应权值后相加，和再除以所有权的和。按照此方法，笔试平均分乘以权值4，操作分乘以权值6，它们的和再除以10，可算出甲、乙两组平均分分别为61.6、62.2。若直接计算笔试平均分与小组操作这两项的算术平均数，两组都为66，甲乙组不分上下，但赋予笔试权重4，小组实验操作权重6后，操作类比重较大，乙组动手操作优势就显现出来了。
大家想想，加权平均数与算数平均数有什么联系和区别呢？当每个数据被认为同等重要时，权值可看作1，这时计算的加权平均数就是算数平均数。平均数计算能充分利用所有数据信息，但受极端值影响较大。比如乙组笔试最低分41，最高分100，极差很大，直接影响笔试平均分大小。那么乙组笔试平均分85分能否准确体现乙组水平呢？这时可加入众数和中位数两个统计量分析。众数是一组数据中出现次数最多的数据，甲组众数为87，乙组众数是100。中位数是将一组数据按由小到大或由大到小顺序排列，处于中间位置的数或中间两个数的平均数。甲组中位数是87，乙组排中间的数有两个，分别是88和97，它们的平均数是92.5，即乙组中位数是92.5。众数和中位数能反映一组数据集中趋势，且不受极端值影响。仔细看会发现甲组笔试平均分、众数、中位数三个数据很接近，甲组笔试成绩基本稳定在87 - 88的水平。乙组笔试平均分85，与众数、中位数有一定差异，因其平均数受极端值影响，所以推测一组水平时，我们更倾向于中位数或众数。试试去掉一组的最高分与最低分，计算出的平均数是92分，基本与中位数持平，因此中位数92.5分可作为乙组水平估算，由此比较两组数据，乙组集中水平优于甲组。平均数、中位数、众数都刻画数据集中趋势，各有特点，估计数据集中水平应衡量三种数据参考值，让分析更客观。
既然甲组数据均值稳定，乙组数据极端值较大，用什么体现数据波动情况呢？老师先想到图表。这是两组数据刻画的折线统计图，从图上看，甲组每个数据在平均线（红线）上下徘徊，乙组数据在平均线上跳动明显，甲组比乙组折线平缓，乙组数据波动较大，所以可判断甲组笔试成绩稳定性高。
除图表外，还有方差这个统计量可计量数据波动大小。方差可衡量一组数据离散程度，计算方法是各数据与它们平均数差的平方的平均数。方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小。通过计算，甲组方差约为45.14，乙组方差约为423.33。对比两组方差值，甲组方差小于乙组，可判断甲组笔试成绩稳定性高。方差是刻画数据波动大小的重要统计量，和平均数一样，可采用样本波动大小估计总体波动大小。方差越小，波动越小，稳定性越好。