师：同学们好，今天我们来进行勾股定理小专题的复习。先看看学习目标：一是能综合运用勾股定理、全等三角形判定方法以及等腰直角三角形的性质进行证明；二是感受图形间的变化与联系，体验变中不变的数学思想应用。今天的课和等腰直角三角形有关，我们先来研究它边和角的特殊性质。第一题，如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = BC。若AC = 3，那么∠A是多少度？AB有多长呢？我们知道等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形。根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠A = ∠B = 45°。再根据勾股定理，直角三角形斜边长等于根号下两条直角边的平方和，这里等腰三角形两条直角边都为3，代入可得AB = 3√2。由此我们获得一个经验：等腰直角三角形的两个底角都是45°，斜边长是直角边长的√2倍。
研究完一个等腰直角三角形，下面看看两个等腰直角三角形会有什么情况。第二题，如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC。以点C为直角顶点作等腰直角三角形MCN。第一问，求证∠1 = ∠2。题目中以点C为直角顶点作等腰直角三角形MCN，有两层含义：一是两个三角形有公共顶点C；二是∠MCN和∠ACB都是90°。这两个角有重叠部分，设重叠部分夹角为∠3。从图中可知，∠1和∠2正好是这两个直角减去公共部分剩下的角，所以∠1 = ∠2。
再看第二问，连接AM、BN，求证△MCA ≌ △NCB。证明三角形全等要有边相等的条件，这里有两个等腰直角三角形，所以有边相等。由图可知，AC = BC，MC = NC，再加上第一问证得的∠1 = ∠2，所以△MCA ≌ △NCB。
接着思考，如果把△MCN绕点C转动，使两个三角形重叠部分变大或变小，△MCA和△NCB还全等吗？做图演示发现，在△MCA转动过程中，边长不变，虽然∠3变化，但∠1和∠2始终是由90° - ∠3得来的。所以当等腰直角三角形MCN绕点C转动且与△ACB有重叠部分时，两个阴影部分三角形始终全等。
刚才限定了转动范围，如果不限定，会怎样呢？观察∠MCA和∠NCB（即∠1和∠2），会发现这两个角由锐角过渡到直角、钝角再到平角。转动过程中，两角算法改变，但△MCA和△NCB始终全等。两角不同算法，同学们课后解答。从这道题得到启示：很多动态题中有不变的关系，找到它是解决动态题的关键，这种能力需要大家在今后学习中慢慢积累。
下面看典型例题，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA = CB，CE = CD，△ACB的顶点A落在△ECD的斜边DE上。求证AE2 + AD2 = 2AC2。这道题等腰直角三角形ECD转动到特殊位置，斜边经过另一个等腰直角三角形顶点。特殊位置存在特殊线段关系，要证的式子结构和勾股定理类似，但等号右边是一条线段平方的两倍，和勾股定理不同。考虑把线段平方的两倍转化成一条线段的平方，2AC2 = AC2 + AC2，因为AC = BC，所以2AC2 = AC2 + BC2，根据勾股定理，2AC2 = AB2。从另一个角度，等腰直角三角形中斜边是直角边的√2倍，两边平方可得2AC2 = AB2，这样特殊线段关系就转化成类似勾股定理结构的关系。