师：同学们好，今天我们一起来学习圆的有关性质的第二课时——垂直于弦的直径。上课前，请大家准备一个圆形纸片，沿着任意一条直径对折，重复做几次，看看能发现什么。
生：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
师：非常好，那同学们能证明这一结论吗？动手做一做。如图，已知 CD 是圆 O 的直径，点 A 是圆 O 上任意一点，请作出点 A 关于直径 CD 所在直线的对称点。
生：过点 A 作 AA'垂直 CD 交圆 O 于点 A'，垂足为点 M，此时点 A'即为点 A 的对称点。
师：没错，那我们如何证明点 A 与点 A'关于 CD 所在直线对称呢？其实只需要证明 AM 等于 A'M，即 CD 是 AA'的垂直平分线，就能说明对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线 CD 的对称点 A'，所以圆 O 关于直线 CD 对称。现在我们只需证明 AM 等于 A'M 即可。有哪些证明方法呢？
生：连接 OA'，可以通过证明三角形 OAM 与三角形 OA'M 全等，或者利用等腰三角形 OAA'的三线合一，这两种方法都能证出 AM 等于 A'M 。
师：非常棒，这样我们就得到结论，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。接下来请同学们仔细观察思考，通过上面的证明，如果圆 O 的直径 CD 垂直于弦 AA'，那么点 A 和点 A'是一组对称点。把圆 O 沿着直径 CD 折叠，会出现什么情况？
生：点 A 与点 A'重合，AM 与 A'M 重合，弧 AC、弧 AD 分别与弧 A'C、弧 A'D 重合。
师：对啦，也就是说，当直径 CD 垂直于弦 AA'时，直径也会平分弦 AA'，并且平分弦所对的两条弧。这就是我们今天要学的垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。下面结合图形解读一下垂径定理。垂径定理的条件是出现直径，并且该直径垂直于弦。马上可以得到什么结论呢？
生：如图，AM 等于 A'M，即平分弦；弧 AC 等于弧 A'C，弧 AD 等于弧 A'D，即平分弧。
师：用符号语言表示就是：因为直径 CD 垂直 AA'于点 M，所以 AM 等于 A'M，弧 AC 等于弧 A'C，弧 AD 等于弧 A'D。下面请同学们辨析一下，哪些图形可以判断出弦 AB 被 CD 平分，如果不能平分，说明理由。请看第一幅图。
生：图 1 不可以，因为 CD 没有过圆心，它不是直径。
师：图 2 呢？
生：图 2 可以。
师：图 3 呢？
生：图 3 不可以，因为直径 CD 没有垂直于弦 AB。
师：图 4 呢？
生：图 4 可以。
师：请同学们参照图 2 思考一下，垂径定理中的“径”是否必须是直径呢？
生：图 2 中的 CD 不是直径，但可以通过延长 CD 得到一条直径，所以垂径定理中的“径”可以是过圆心的直线、射线或者线段。
师：对，我们在运用垂径定理时可将其进行一个变式，若一条线段、射线或直线具备经过圆心、垂直于弦，那么可推得它也会平分弦，并且平分弦所对的两条弧。这里大家不妨大胆猜想一下，垂直于弦的直径平分弦，反之，平分弦的直径是否会垂直于弦呢？
生：从图形中看很容易证得，但此处的弦不能为直径。
师：没错，这就是垂径定理的推论。下面用今天所学知识来解决问题。请看例 2，在圆中，直径 CD 垂直 AB 于 E，AB 等于 8，OE 等于 3，求该圆的半径长。
生：因为直径 CD 垂直于 AB，由垂径定理，可得 BE 和 AE 相等均为 4。在直角三角形 OEB 中，由勾股定理可求得 OB 等于 5，即圆 O 的半径为 5。
师：非常好，看一个变式训练。对比例题的图形，此时给的是 ED 的长。该怎么做呢？
生：仍然可以通过连接 OB 构造直角三角形。这里没直接给 OE，但可以用方程的思想来解决。假设半径为 r，那么 OE 的长可表示为 r - 2。由勾股定理列方程可求得 r 等于 5。
师：很好，下面进行小结。垂径定理的基本图形通常有以下几种，请同学们认真观看。一般在涉及弦长的问题时，我们可以通过圆心作弦的垂线，连半径来构造直角三角形，用勾股定理以及垂径定理来解决问题。下面通过 4 个小问题进一步研究它。如图，在圆 O 中，直径 CD 垂直弦 AB。先看第一问，若已知半径为 5，弦 AB 为 8，能得出什么？