师：同学们，今天我们学习二次函数。本节课有两个学习目标：一是掌握并简单运用二次函数的定义；二是能根据实际问题中的数量关系建立二次函数模型。函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，之前我们学过一次函数，它可以表示某些问题中数量之间的关系。现在看这个例子，从喷头喷出的水珠在空中走过一条曲线，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？这个问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数方程有哪些联系？学完本章内容，我们就可以回答这些问题了。
那怎样的函数是二次函数呢？来看这几个问题。
问题一，一个棱长为x的正方体，它的表面积为y，y与x之间的关系可以表示为什么？y是x的函数吗？我们知道正方体由6个正方形组成，正方形面积是边长的平方，所以y与x的关系式为y = 6x2。显然，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，即y是x的函数。
问题二，n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？每个队要与其他n - 1个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场，所以比赛场次数为$\frac{n(n - 1)}{2}$，即$m = \frac{1}{2}n(n - 1)$，展开整理得到$m = \frac{1}{2}n2 - \frac{1}{2}n$，这表示了比赛场次数m与球队数n的关系。对于n的每一个值，m都有唯一的值与之对应，即m是n的函数。
问题三，某种产品现在年产量是20吨，计划明后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后的这种产品的产量y将随计划确定的x的值而确定。y与x之间的关系应怎样表示？年产量是20吨，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么明年产量是20(1 + x)吨，后年产量是20(1 + x)(1 + x)吨，即两年后的产量为$y = 20(1 + x)2$。用完全平方公式展开，得$y = 20x2 + 40x + 20$，这表示了两年后的产量y与计划增产倍数x之间的关系。对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，即y是x的函数。
请同学们思考，这三个函数有什么共同点？对，我们发现这些函数都是用自变量的二次式表示的。一般地，形如$y = ax2 + bx + c$（a、b、c是常数，$a ≠ 0$）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项，这个解析式是二次函数的一般式。后边我们还会接触到另外两种形式。和一次函数一样，二次函数也有一个不能为0的系数，就是二次项系数a，而对于b和c没有任何限定。也就是说，一个二次函数的解析式可以没有一次项、没有常数项，或者同时不含一次项和常数项，但一定不能没有二次项。像$y = - 2x2 + x$，$y = 3x2 - 2$，$y = x2$，这些都是二次函数。我们发现自变量x既不在根号里，也不在分式里，所以它的取值范围是全体实数。
自变量最高次数是二次，且二次项系数不为0，这两个限定条件可以帮我们排除很多不是二次函数的式子。当然，我们还要留意解析式右边一定是整式，不能包含分式或根式。所以$y = 2x2 + \frac{1}{x}$，$y = x2 - \sqrt{x}$虽然含有二次项，但因为有多余的分式或者根式，所以这两个不是二次函数。
接下来学以致用，根据定义来识别二次函数。
请看第一题，下列函数中哪些是二次函数？是的打勾，不是的打叉，并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
第一小题，$y = 7x - 1$，自变量x最高次数是一次，它是一次函数，不是二次函数。
第二小题，$y = - 5x2$，自变量最高次数是2，符合二次函数定义，其中二次项系数为 - 5，不含有一次项和常数项，所以一次项系数为0，常数项为0。
第三小题，$y = 3x3 + 2x2$，自变量x最高次数是3次，所以不是二次函数。
第四小题，$y = x2 + \frac{1}{x2}$，因为$\frac{1}{x2}$不是整式，所以它也不是二次函数。