师：同学们，今天我们学习九年级人教版数学第22章二次函数“y = ax2 + bx + c”的图像和性质。本节课学习目标有三点：一是能用配方法把二次函数y = ax2 + bx + c转换为顶点的形式，体会转换的思想；二是理解二次函数y = ax2 + bx + c顶点坐标公式（ -b / 2a ，(4ac - b2) / 4a ），并能正确运用该公式求二次函数的顶点坐标；三是能准确画出二次函数的图像，理解二次函数的性质，体会数形结合的思想。本节课学习重点是通过配方法把二次函数y = ax2 + bx + c转换成顶点式，求出顶点坐标，并能根据顶点位置准确画图。
通过前面的学习，我们已经知道怎么画顶点式二次函数的图像了。下面请同学们动手画出二次函数y = 2(x - 1)2 - 3的图像。从二次函数的表达式，我们能确定其对称轴、顶点坐标以及开口方向。根据对称轴和顶点坐标，我们采用列表描点连线法来画这个函数的图像。列表如下，x分别取 -2、 -1、0、1、2、3、4 ，分别求出对应的y值。然后在平面直角坐标系当中描点，再用光滑的曲线把它们连接起来，这样就画出了这个函数的图像。接下来，请大家画出一般式二次函数y = 1/2 x2 - 6x + 21的图像。
对于一般式的二次函数，之前我们没学过怎么画它的图像。同学们都知道，学习一个新函数，通常采用列表描点连线法画图。可能有同学是这样列表，然后分别求出x的值，接着描点，再用光滑的曲线连接起来，得到函数的图像。可是为什么画出来的图像不像抛物线呢？原来是列表取值不恰当，画出的只是抛物线的一小部分，所以看起来不像抛物线。
那如何取值列表才能画出较完整的抛物线呢？x应该取顶点的横坐标及其左右两边的值，这样画出来的图像才比较完整。接下来问题来了，一般式的二次函数如何求其对称轴呢？通过上一节的学习，我们知道知道二次函数的顶点式就能求出其对称轴，所以我们可以用配方法将一般式化成顶点式，进而求出对称轴。下面请同学们按下暂停键，将二次函数y = 1/2 x2 - 6x + 21转换成顶点式。
在一元二次方程中，我们学过配方法，就是通过加一项再减一项的方式，利用完全平方公式将式子配成平方的形式。在二次函数中配方道理也是一样。观察二次函数的表达式，发现二次项系数不是1，所以我们首先把二次项的系数提取出来，得到y = 1/2(x2 - 12x) + 21 。提取二次项系数1/2的时候，要注意括号里面系数的变化。然后在括号里面加上一次项系数一半的平方，为了保持结果不变，又要减去一次项系数一半的平方。这样我们就得到了相应式子，然后将前三项组合在一起，利用完全平方公式写成平方的形式，再去括号化简就得到了它的顶点式。所以我们得到顶点式y = 1/2(x - 6)2 + 3 。这种通过加一项再减一项，利用完全平方公式将一般式化为顶点式的方法叫做配方法。这种利用配方法将新知转换为旧知的做法，体现了转换的数学思想。下面我们归纳配方法的步骤。
配方法第一步是提取二次项系数，提取时注意括号里面各项系数的变化，尤其是符号变化；第二步是在括号里面配，通过加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，配成完全平方形式；第三步是化简，去括号并化简成顶点式。下面请同学们再来画一下二次函数y = 1/2 x2 - 6x + 21的图像。我们先将其化成顶点式，根据顶点式可知这个函数的对称轴是x = 6，顶点坐标是(6, 3) 。然后我们可以选择列表描点连线法来画它的图形。首先列表如下，注意x的取值一定要取顶点的横坐标，然后在顶点横坐标左右两边分别等距取值，根据x的值代入表达式求出y的值，得到相应y值后，根据表格中的数据描点，再用光滑的曲线连接起来，这样就得到了这个二次函数比较完整的抛物线图像。
除了用列表描点连线法画图，我们还可以用图像平移法来画图。首先根据二次函数y = 1/2 x2 - 6x + 21，选择一个开口大小和方向与之相同，且顶点在原点的函数y = 1/2 x2 。然后根据顶点坐标，先向右平移6个单位长度得到y = 1/2(x - 6)2 ，再向上平移3个单位长度就得到y = 1/2(x - 6)2 + 3 ，这样就得到了y = 1/2 x2 - 6x + 21的图像。结合刚才两种画图方法，请思考下面两个问题。
思考一：画出一个二次函数的图像最重要的因素是什么？从刚才两种画图方法可知，画二次函数图像最重要的因素是顶点坐标和对称轴。思考二：对于任意一个二次函数，它的顶点坐标有没有公式呢？当然有。下面请将二次函数y = ax2 + bx + c化成顶点式，然后求出顶点坐标并画出其图形。第一步，提出二次函数的二次项系数a，提取a时注意括号里面一次项系数的变化，从原来的b变成b / a ；第二步，在括号里面加上一次项系数一半的平方，为保持结果不变，要减去一次项系数一半的平方，然后将前三项组合在一起，利用完全平方公式配成平方的形式，再化简，就可以得到它的顶点式。
由此我们可以得出这个函数的顶点式，通过顶点式可知它的顶点坐标是（ -b / 2a ，(4ac - b2) / 4a ），对称轴是直线x = -b / 2a 。然后根据a的符号可以画出它的简图，当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下，对称轴都是x = -b / 2a ，这样就画出了它的简图。
有了图形，下面我们分析它的性质，指出其对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性和最值。先看开口方向，当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。对称轴都是直线x = -b / 2a ，顶点坐标是（ -b / 2a ，(4ac - b2) / 4a ）。当a > 0时，抛物线开口向上，看对称轴左侧，图像从左到右下降，所以当x < -b / 2a时，y随x的增大而减小；再看对称轴右侧，图像从左到右上升，所以当x > -b / 2a时，y随x的增大而增大，图像有最低点，所以当x = -b / 2a时，函数有最小值(4ac - b2) / 4a 。当a < 0时，对称轴左侧图像从左到右上升，所以当x < -b / 2a时，y随x的增大而增大；对称轴右侧图像下降，所以当x > -b / 2a时，y随x的增大而减小，图像有最高点，所以当x = -b / 2a时，函数有最大值(4ac - b2) / 4a 。这样我们就得到了二次函数的图像和性质，通过解析式画出图像，再由图像分析性质，这种方法体现了数形结合的思想。下面我们一起来解答这两个问题。
第一题，y = 1/3 x2 + 2x 。首先第一步提取二次项系数1/3出来，得到y = 1/3(x2 + 6x) ，注意括号里面x的系数变化。第二步，在括号里面加上一次项系数6的一半的平方，即加上32 ，为保持结果不变，再减掉32 ，然后将前三项组合在一起，利用完全平方公式化成平方的形式，这样就得到了它的顶点式。从顶点式可以看出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标。因为a = 1/3 > 0 ，所以抛物线开口向上，对称轴是直线x = -3 ，顶点坐标是(-3, -3) 。
下面看第2题，y = -2x2 - 4x + 1 。首先提出二次项系数 -2出来，得到y = -2(x2 + 2x) + 1 ，注意括号里面x的系数变化以及符号变化。第二步，在括号里面加上一次项系数的一半的平方，即加上12 ，然后再减去12 ，将括号里面前三项组合在一起，利用完全平方公式写成平方的形式，再化简就得到了它的顶点式。从顶点式可知，a = -2 < 0 ，所以抛物线开口向下，对称轴是直线x = -1 ，顶点坐标是(-1, 3) 。
再看第二题，由解析式可知a = 1/2 ，b = -4 ，c = 3 。因为a = 1/2 > 0 ，所以抛物线开口向上，对称轴是直线x = -b / 2a ，将a = 1/2 ，b = -4代入化简得到对称轴是直线x = 4 ，顶点坐标是（ -b / 2a ，(4ac - b2) / 4a ），将a = 1/2 ，b = -4 ，c = 3代入化简，得到顶点坐标是(4, -5) 。
下面请同学们看练习三，二次函数y = -2x2 + 4x - 1 ，当x取什么值时，y随x的增大而增大？当x取什么值时，y随x的增大而减小？观察二次函数的解析式，它是一般式，要求这个函数的增减性，需要先将一般式化为顶点式。首先第一步提出二次项系数 -2出来，得到y = -2(x2 - 2x) - 1 ，注意括号里面x的系数和符号变化。第二步，在括号里面加上一次项系数的一半的平方，即加上12 ，再减去12 ，将前三项组合在一起，利用完全平方公式写成平方的形式，再化简，就得到了它的顶点式y = -2(x - 1)2 + 1 。由顶点式可知开口向下，对称轴是x = 1 ，顶点坐标是(1, 1) ，所以我们可以在右边的平面直角坐标系下画出这个函数的简图。对称轴是x = 1 ，顶点坐标是(1, 1) 。从这个图形可以看到，对称轴左边部分图像从左到右上升，所以当x < 1时，y随着x的增大而增大；对称轴右边图像从左到右下降，所以当x > 1时，y随着x的增大而减小。这种由解析式画出图形，再根据图形数形结合来研究性质，体现了数形结合的思想。
好，下面我们总结这节课所学内容。一、二次函数y = ax2 + bx + c化为顶点式的方法是什么？该方法的步骤是什么？化为顶点式的方法是配方法。配方法的步骤分三步：第一步提取二次项系数；第二步在括号里通过加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，利用完全平方公式配成平方结构；第三步化简成顶点式。这种由一般式转换成顶点式的方法体现了转换的数学思想。
二、画二次函数的图像有哪些方法？常用的有列表描点连线法和图像平移法。无论哪种方法，都需要用到二次函数的顶点坐标和对称轴。二次函数y = ax2 + bx + c有哪些基本性质？从图形上看，对称轴是直线x = -b / 2a ，顶点坐标是（ -b / 2a ，(4ac - b2) / 4a ）。当a > 0时，开口向上，当x < -b / 2a时，y随x的增大而减小；当x > -b / 2a时，y随x的增大而增大；当x = -b / 2a时，函数有最小值(4ac - b2) / 4a 。当a < 0时，抛物线开口向下，当x < -b / 2a时，y随x的增大而增大；当x > -b / 2a时，y随x的增大而减小；当x = -b / 2a时，函数有最大值(4ac - b2) / 4a 。课堂到此结束，谢谢大家观看，再见。