师：同学们，今天我们学习人教版九年级数学 22 章二次函数 9 习题课。本节课目标是巩固二次函数的图像与性质，利用二次函数图像，通过数形结合的方法，求解二次函数的增减性、最值等问题。本节课重点同样是利用二次函数图像，借助数形结合来求二次函数的增减性、最值等。之前我们学习了二次函数的顶点式、一般式，知道二次函数的图像是一条抛物线。现在，请同学们从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面，对二次函数的图像与性质进行复习，填写下面表格。
二次函数的开口方向与 a 有关，a 大于 0 时开口向上，a 小于 0 时开口向下。二次函数的对称轴、顶点坐标、增减性，请同学们结合二次函数图像，通过数形结合的方式理解记忆。二次函数的最值与二次函数顶点的纵坐标相关。接下来，我们用例一来热身。
例一给出的是二次函数的顶点式，这里 a 为 -1，小于 0，所以抛物线开口向下。从解析式能直接得出它的对称轴以及顶点坐标。有了这些信息，我们就能快速画出二次函数草图。由图像可知，在对称轴左侧，即 x 小于 1 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，即 x 大于 1 时，y 随 x 的增大而减小。当 x 等于 1 时，函数有最大值为 3。
下面请同学们看问一，思考如何比较 Y1 与 Y2 的大小呢？一种方法是，已知两点横坐标，我们可以将其代入解析式求出函数值，进而比较大小，这是个很好的方法。那大家想想还有其他方法吗？其实，从所给解析式能知道它的开口方向、对称轴以及顶点坐标是（1，K），这样我们就能画出二次函数草图。接着，根据两点横坐标能确定两点位置，从而比较出 Y1 与 Y2 的大小。下面我们来看两种方法的解题过程。
第一种是代数方法，同学们看具体格式。第二种是画出图像，找到两点位置，用数形结合方法比较 Y1 与 Y2 的大小。接下来看问 2，请同学们思考，问 2 和问一的区别是什么？很明显，两点横坐标由数字变成了字母。那还能用刚才两种方法求解吗？我们试试。
第一种方法，将点坐标代入解析式得到 Y1 与 Y2，显然用代数方法无法直观比较大小。那怎么比较 Y1 与 Y2 的大小呢？同学们可以试试。这里我们用做差的方法来比较 Y1 与 Y2 的大小，做差过程中用到平方差公式因式分解，然后判断两个因式正负，从而得出 Y1 与 Y2 的大小关系。再看第二种方法，同样先画出二次函数草图，因为 m 小于 n 小于 1，所以能找到两点位置，这样就能直观比较出 Y1 与 Y2 的大小。
我们小结一下例一，当给定二次函数解析式，要能快速准确判断开口方向，求出对称轴、顶点坐标，进而画出图像，利用图像得出其性质。比较函数值大小，可以把点坐标代入解析式求函数值比较，这是代数方法；也可以画出函数图像，找到两点位置，通过数形结合比较函数值大小。
接下来看拓展，拓展中 a 为 -1 小于 0，抛物线开口向下。题目涉及求增减性问题，所以考虑求二次函数对称轴，这里 b 是 2M，直接用公式对称轴 x 等于 -b / 2a，就能求出抛物线对称轴。画出二次函数草图，由图像可知，在对称轴左侧，即 x 小于 m 时，y 随 x 增大。而题目条件是 x 小于 1 时，y 随 x 增大。显然，m 等于 1 时符合题意。但做题时思考要全面。
将函数图像向右平移，会发现 x 小于 1 的图像是整个 y 随 x 增大而增大图像的一部分，此时 m 大于 1 也成立。如果把函数图像向左平移，x 小于 1 的图像不但包含对称轴左侧所有图像，还包含对称轴右侧一部分图像，就不符合 x 小于 1 时 y 随 x 增大这个条件了。所以本题答案是 m 大于等于 1。