师：同学们，大家好。今天我们来学习八年级人教版数学第十一章 11.2.1《三角形的内角》第一课时。首先来看这节课的学习目标：探索并证明三角形内角和定理；能运用三角形内角和定理解决简单问题；体会三角形内角和定理在实际运用中的意义和价值。这节课的学习重点是探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性。学习难点是如何添加辅助线证明三角形内角和定理。
下面我们温故知新。大家在小学就已经知道任意一个三角形的内角和等于 180 度，回忆一下当时是怎么得出这个结论的呢？对，是通过度量或者剪拼的方法。但不论是度量还是剪拼，都是通过实验操作归纳出结论。要知道形状各异的三角形有无数个，不可能用这些方法一一验证所有三角形。而且测量存在误差，可能出现有的同学量得某个三角形内角之和大于 180 度，有的同学量得小于 180 度，导致结果不确定。
今天我们就学习通过推理的方法证明任意一个三角形的内角和一定等于 180 度。怎么证明呢？先给大家一个小任务，从 180 度入手，同学们已经学过哪些关于 180 度的性质和定义？相信大家已经想起来，一个平角等于 180 度，互补的两个角和等于 180 度，包括邻补角、两个直角、两直线平行同旁内角互补等形式。同学们不妨像小学时一样，在纸上任意画一个三角形，把三个内角剪下来拼一拼，看看能否拼出与 180 度有关的图形。
相信同学们找出了很多拼接方法，老师和大家分享几种。有的同学拼出这样的图案，有的同学拼出那样的图案……拼图是为了证明三角形内角和为 180 度，操作过程中，能发现证明思路吗？下面看问题三，证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。已知三角形 ABC，求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
证法一：过点 A 作直线 l 使 l∥BC。因为 l∥BC，所以∠2 = ∠4（两直线平行，内错角相等），同理∠3 = ∠5。因为∠1、∠4、∠5 组成平角，所以∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）。
这样我们就证明了任意一个三角形内角和都等于 180 度，得到三角形内角和定理。大家思考一下，为什么过点 A 做 BC 的平行线，如果做的不是平行线，能证明结论吗？这个问题课后思考。过点 A 作直线有无数条，作辅助线是为了利用前面所学性质和定理进行后续推理，所以通常选择做平行线。接下来看证法二。
证法二：过点 A 作直线 l 平行 BC，延长 BA 到点 D。因为 l∥BC，所以∠5 = ∠3（两直线平行，内错角相等），∠8 = ∠2（两直线平行，同位角相等）。因为∠1 + ∠8 + ∠5 = 180°（平角定义），所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）。这样又证明了三角形内角和定理正确。刚刚两种证明方法都需移动两个角 B 和角 C，并利用平角等于 180 度，是否有其他方法只需移动一个角呢？
证法三：过点 A 作直线 l 平行 BC。利用平行线，根据两直线平行内错角相等将∠B 或∠C 进行转化，再利用平行线根据两直线平行同旁内角互补证得 180 度。转化后，有颜色的角就是同旁内角互补的图形，最后用等量代换得到∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。
证法四：分别过点 A、B、C 作 AF、BE、CG 分别平行。利用平行线 AF∥BE，两直线平行内错角相等，所以∠1 = ∠2。同样利用平行线 AF∥CG，两直线平行内错角相等，所以∠4 = ∠3。将∠BAC 拆分成∠2 与∠3，并利用平行线转化成∠1 与∠4，再根据两直线平行同旁内角互补，因为 BE 和 CG 平行，得到同旁内角互补，等量代换即可得到三角形三个内角之和等于 180 度。通过这四种方法，利用平行线转化条件，证明了三角形内角和定理。