师：同学们，欢迎进入七年级人教版数学第四章第三课时立体图形的展开图的学习。上节课我们学习了从不同方向看立体图形，初步了解了立体图形与平面图形的关系。今天，我们从另一个角度——立体图形的展开图，来认识两者的关系。
首先明确学习目标：一、知道正方体、直棱柱、圆锥的展开图；二、会根据展开图判断其立体图形。学习重点是以正方体为例，探究直棱柱、圆柱和圆锥的展开图。学习难点是探究正方体的展开图。学习准备：每位同学准备一个带磁铁的正方体学具或正方体纸盒和剪刀。
下面，我们一起来认识展开图。家中闲置的包装纸盒可回收利用，将纸盒沿着某些棱适当展开，铺平成一个平面纸板，既节省空间又绿色环保。类似地，有些立体图形由一些平面图形围成，将它们的表面沿着某些棱适当剪开，可以展开成平面图形，这就是相应立体图形的展开图。
立体图形究竟该如何展开呢？不妨按照从特殊到一般的研究思路，以正方体为例来探究。大家想一想，正方体有几个面，每个面是什么形状？展开后的平面图形会是什么样子？
生：正方体有6个面，每个面都是大小相同的正方形，展开后每个面至少有一条棱与其他面相连。
师：非常好。那我们剪一剪，沿着正方体的棱剪开，保持每个面的完整。你们会发现正方体有多种展开方式。如何才能不遗漏地找出正方体所有的展开图呢？不妨尝试在展开过程中将其分类。下面让我们跟着视频一起来学习，有学具的同学可以跟着一起操作。
正方体有6个面，从你们的方向看，可分为上底面、下底面和4个侧面。先将下底面任意地展开，再沿任意一条侧棱剪开，中间的侧面连成一排。因为上底面展开后可以与任意一个侧面相连，所以上底面展开后会有这四种位置。同理，下底面也应该有4种位置。像这样的展开图究竟有多少种呢？需要我们把所有可能的情况列举出来逐一分析。
如果控制中间四个侧面位置不动，当上底面在第一个位置时，下底面可以在第一、第二、第三、第四四种位置。当上底面在第二个位置时，下底面依然可以有四种位置。但是，当上底面在第二和第三个位置时，连线的这两个图形左右翻转后会重合，它们属于同一种情况。同样，这两个、这两个以及这两个图形左右翻转后都会重合，这是由对称性造成的。因此，上底面在第二和第三个位置时属于同一种情况，不能重复计算。同理，根据对称性，上底面在第一和第四个位置时连线的这些也属于同一种情况，不能重复计算。所以，只需要讨论以上8种情况即可。
大家仔细观察，会发现这两个上下翻转后会重合，这两个旋转180度后会重合，因此去掉这两个重复的，只剩下这6个展开图。除此以外，有没有更特殊的情况呢？当两个底面都位于上方时，将缺少下底面，无法围成正方体。第一个图形的部分和第二个图形的整体，它们都很像汉字“凹”的形状，我们可以形象地称它为“凹字形”，总结为含有“凹字形”的都不是正方体的展开图。
综合以上分析，可以得到正方体的这6种展开图，其特点可归纳为“中间四个一连串，两边各一随便放”，简称为“141型”，共6种。仔细观察以上展开图，可以将其分为3层，如果改变每一层的正方形个数，则会出现新的类型。刚才的展开图中间有4个正方形相连，若中间减少一个，变为3个会怎样呢？我们通过视频来看一下。
可以先将三个侧面连成一排展开，剩下的侧面与上底面相连，向上展开，下底面向下展开，得到上面有两个，中间有三个，下面有一个这样的展开图。由于下底面与这三个侧面都可以相连，所以下底面有这三种位置。若上面两个面一起向右平移一个位置，会出现4个面，形成“田字形”的结构。此时，无论是左右还是上下折叠，都无法围成正方体，所以含“田字型”的不是正方体的展开图。如果将上面两个面再向右移动一个位置，仍然会出现“田字形”的结构，这也不是正方体的展开图。继续向右移动，此时不考虑颜色，每一个正方形围起来可以围成正方体，所以最后一个是正方体的展开图。
总结一下，这三个都是正方体的展开图，这两个含有“田字形”，不是正方体的展开图。最后一个左右翻转后会与第一个重合，属于同一种情况，不能重复计算。因此，可以将这三个的特点归纳为“231型”：“2三紧连错一个，3一相连一随便”，共三种。
前面两类中间一层的个数由4个变为3个，能否变为两个呢？一起来看一下。
先将这两个面连在一起向下展开，再将这三个面向右展开，这两个面相连向上展开，可以得到每层有两个正方形的展开图。
如果将上面两个面向右平移，会得到“田字形”和“凹字形”的结构，这都不是正方体的展开图，所以只有这个符合。它的特点可以归纳为“两两相连，各错一”，简称为“222型”，共一种。
此时，大家可以大胆设想，正方体的展开图可否只有两层呢？我们继续通过视频来验证一下。