师：同学们，今天我们来学习粤教版高中物理选择性必修第一册第二章机械运动的第三节——单摆。
生活中有很多摆动现象，像人在健身器材上的运动、钟摆摆动、灯的摆动等。当年伽利略在教堂看到吊灯摆动，发现了一个重大秘密。现在老师用一个模型，带大家探索这个秘密，这个模型就是单摆。单摆是用一条悬点固定的细绳悬挂一个小球的装置。注意，这条细绳不可伸缩，质量可忽略不计，小球可看作质点，摆动过程忽略空气阻力影响，这是个理想化模型，很难实现。不过，满足以下条件的模型可近似看成单摆：
第一，摆线的形变量远小于摆线长度，这样的摆线可看成不可伸缩；
第二，摆线质量远小于摆球质量，摆线质量可忽略；
第三，摆球直径远小于摆线长度，摆球可看成质点；
第四，摆球质量较大、体积较小，摆动过程空气阻力可忽略。
把摆球拉离最低点释放，摆球会在最低点附近来回摆动，即机械振动。那摆球的振动是简谐运动吗？我们可以用两种方法研究：一种是根据简谐运动定义，分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比且方向相反；另一种是根据简谐运动特征，分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系。
我们先用第一种方法分析。如图，单摆摆长为l，摆球质量为m，对摆球受力分析。摆球静止时，受重力与绳子拉力，合力为零，处于平衡位置O点。当摆球沿圆弧运动到某位置，摆线与竖直方向夹角为θ，摆球受重力G与拉力T作用，在这两个力作用下，摆球在O点附近做往复运动，即机械振动，同时摆球轨迹是圆弧，也就是在竖直面内做圆周运动。因此，我们将重力沿运动的切线和法线方向分解。
重力沿法线方向的分力$mg\cosθ$与运动方向垂直，$T$与$mg\cosθ$的合力改变运动速度方向，给圆周运动提供向心力；重力沿切线方向的分力$mg\sinθ$指向平衡位置，总想把摆球拉回平衡位置，起到回复力效果。从图中看，回复力与摆球相对平衡位置的位移x不在一条线上，但当摆角$θ$小于5度时，摆球运动的弧长OP近似等于弦长，弦长就是偏离平衡位置位移x的大小，所以弧度角$θ$等于弧长OP比摆长l，也近似等于x比l。因为$θ$角很小，$\sinθ$近似等于弧度角$θ$，所以回复力$f_{回}=mg\sinθ$也近似等于$-\frac{mgx}{l}$，其中负号表示回复力与偏离平衡位置的位移方向相反。对于确定的单摆，摆球质量m和摆长l一定，即回复力与偏离平衡位置位移x的大小成正比，且总是指向平衡位置。所以，在摆角$θ$小于5度时，单摆在竖直面内的摆动可看作简谐运动。
简谐运动是周期性运动，如果从摆球向右通过O点时刻开始计时，它将运动到A点，然后回到O点，又继续向左运动，到达B点，然后再回到O点，完成一次全振动，所需时间为一个周期。我们还能绘制单摆的振动图像，看看位移与时间的关系是否满足正弦关系。请观看实验视频。
（实验描述）：用矿泉水瓶制作成漏斗，用细线悬挂在带有铁夹的铁架台上，将细沙倒入漏斗中。当漏斗摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动白纸，观察撒在白纸上的沙的图样。实验器材有细沙、夹子、带有铁夹的铁架台、细线、漏斗、白纸。用手堵住漏斗孔，将细沙倒入漏斗中，使漏斗偏离平衡位置摆动，露出的细沙在白纸上形成一条直线，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动漏斗正下方的白纸，露在白纸上的细沙记录下各个时刻漏斗的位置，此图像为漏斗摆动的位移 - 时间图像。
实验中细沙描绘的位移 - 时间图近似满足正弦关系。实际上单摆运动轨迹是一段圆弧，但单摆是近似处理的理想化物理模型，可看成直线上的往复运动，且重力分力提供向心力。摆角越小，摆球的运动越接近简谐运动。请看动图，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。当t = 0时刻，摆球处于平衡位置，向右方摆动到达A点，此时位移最大，位移为正值；然后回到平衡位置O点，向左方摆动到达B点，此时位移最大，位移为负值，然后回到平衡位置O点，完成一次全振动。
既然单摆在小角度范围内摆动时做简谐运动，那它的周期是多少？由什么因素决定？我们从单摆装置及其摆动相关因素着手，影响单摆周期的因素可能有摆角、摆球质量、摆长等。根据这些猜想，我们采用控制变量法进行实验探究。
实验一，控制m、l相同，改变$θ$，探究周期T是否与$θ$有关；
实验二，控制$θ$、l相同，改变m，探究周期T是否与m有关；
实验三，控制$θ$、m相同，改变l，探究周期T是否与l有关。
注意，单摆做简谐运动的条件是摆角小于5度。在实际实验中，小于5度的单摆运动细节很难观察，所以在探究影响单摆周期因素的实验中，可在摆角为15度以内研究单摆运动情况，此时因角度引起的相对误差在1.15%左右，在中学物理学习中是允许的。下面请观看实验视频。
（实验一描述）：摆球质量、摆长一定，探究周期是否与摆角有关。通过两个单摆对比实验观察单摆振动周期与其摆角是否有关，这是两个质量相同、摆长相同的摆球。先观察从同一高度同时释放时两个摆球振动完全相同的情况。现在将摆球从不同高度同时释放，它们摆角不同。请注意观察它们是否始终同时通过最低点，可清楚看出它们始终同时通过最低点，表明单摆振动周期与其摆角无关，这就是单摆的等时性。
（实验二描述）：摆角、摆长一定，探究周期是否与摆球质量有关。通过两个单摆对比实验观察单摆振动周期与其摆球质量是否有关，这是两个质量不同、摆长相同的摆球。现在将摆球从相同摆角同时释放。请注意观察它们是否始终同时通过最低点，可清楚看出它们始终同时通过最低点，表明单摆振动周期与摆球质量无关。