师：亲爱的同学们，大家好！在学习人教版八年级下册第16章16.1第一课时“从无理数到二次根式”之前，我们先来看一下本节课的学习目标。第一，知道二次根式的概念，理解二次根式的被开方数是非负数。第二，体会二次根式在表示数量关系方面的作用，了解它是解决生活实际问题的重要数学工具。接下来，我们正式进入本节课的学习。
首先，我们通过一个流程图温故知新。七年级时，我们学习了有理数，研究了有理数的概念、性质以及运算。有理数代表具体的数，然而，当遇到的问题愈发复杂和抽象，单纯的数无法解决问题，于是我们引进字母表示数，进而有了代数式的概念。
同学们，我们学过哪些代数式呢？七年级我们学了整式，上学期又学习了分式。回顾整式和分式的学习，我们从概念出发，进而学习性质，再利用性质进行运算，得到整式和分式的运算法则。我们发现，这些运算法则与数的性质和运算法则相通。
七年级下册，我们学习了无理数，将数域扩大到实数范围。若用代数式表示实数，就会产生有别于整式和分式的其他代数式。以带根号的无理数为例，我们将引进二次根式，这就是本章要学习的内容。类比整式和分式，我们同样要研究二次根式的概念、性质和运算。
那什么是二次根式呢？我们来看思考的三个题，用带有根号的式子填空，观察写出的结果有什么特点。
第一题，面积为3的正方形的边长是多少？我们知道正方形面积等于边长乘边长，即边长的平方等于3，所以正方形边长等于3的算术平方根，也就是$\sqrt{3}$。同理，面积为$s$的正方形边长就是$\sqrt{s}$。
第二题，一个长方形围栏，长是宽的两倍，面积是130平方米，它的宽是多少米？这里长和宽都未知，但长与宽的关系已知。我们设宽为$x$，那么长就是$2x$。根据长方形面积等于长乘宽，可列出方程$2x \times x = 130$，化简得到$x^2 = 65$。因为$x$代表宽，所以取正值，$x = \sqrt{65}$，这道题答案就是$\sqrt{65}$。
第三题，一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间$t$与开始落下时离地面高度$h$满足关系$h = 5t^2$，用含$h$的式子表示$t$，$t$应该是多少呢？我们对关系式$h = 5t^2$进行转换，得到$t^2 = \frac{h}{5}$。因为$t$代表时间，不能为负数，所以$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$。
通过刚刚的填空，我们得到$\sqrt{3}$、$\sqrt{s}$、$\sqrt{65}$以及$\sqrt{\frac{h}{5}}$。大家观察这些式子，发现它们都带有根号。我们可以用字母将这些式子一般化表示为$\sqrt{a}$。看到$\sqrt{a}$，大家想到哪个相关知识点呢？对，就是算术平方根。
一般地，如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个正数$x$就叫做$a$的算术平方根。这里$a$表示一个正数的平方，$a$的算术平方根记为$\sqrt{a}$，读作“根号$a$”，$a$叫做被开方数。因为$a$代表一个正数的平方，所以$a$要满足大于等于0。我们知道，一个正数有两个平方根，0的平方根是0，在实数范围内，负数没有平方根。所以在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或者0，也就是非负数。由此，我们得到二次根式的概念：一般地，我们把形如$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）的式子叫做二次根式，“$\sqrt{}$”这个符号称为二次根号。二次根式可从两方面理解：从外形结构看，要含有二次根号这种符号；从内部结构看，被开方数要满足大于等于0。