师：这节课我们来复习三角形与多边形。复习目标有三点：一是理解三角形的中线、高、角平分线、中位线的概念，并运用它们的性质解决问题；二是能运用三角形的三边关系、内角和外角性质进行相关的运算与证明；三是掌握多边形的内角和公式与外角和性质，解决多边形的边角问题。
首先，知识点一，三角形的分类。按角分，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分，可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形。
知识点二，三角形的边角性质。
三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。比如在三角形中，设三边为(a)、(b)、(c)，那么(c)要大于(\vert a - b\vert)，且小于(a + b)。
练习一：已知(a)、(b)、(c)是三角形三边，且满足(\vert a - 4\vert + \sqrt{b - 2} = 0)，求(c)的值。因为(\vert a - 4\vert)和(\sqrt{b - 2})都是非负数，两个非负数相加得(0)，则这两个非负数都为(0)，所以(a = 4)，(b = 2)。根据三边关系，(c)要大于(4 - 2 = 2)，小于(4 + 2 = 6)，答案选(a)。
练习二：已知等腰三角形的两边是(2)和(5)，求它的周长。因为腰不确定，所以分情况讨论。当(2)是腰时，三边为(2)、(2)、(5)，此时(2 + 2 = 4 \lt 5)，不满足三边关系，舍去；当(5)是腰时，三边为(5)、(5)、(2)，满足三边关系，周长为(5 + 5 + 2 = 12)。这道题告诉我们，遇到等腰三角形边的运算，腰不确定时要分类讨论，同时不能忘记考虑三边关系。
角的性质：三角形内角和是(180)度，任何一个外角都等于与它不相邻的两个内角的和。例如在三角形(ABC)中，(\angle ACD = \angle A + \angle B)。
练习：已知(\angle B = 42)度，(\angle A + 10^{\circ} = \angle E)，(\angle ACD = 64)度，求证(AB\parallel CD)。要证两直线平行，需找同位角、内错角或同旁内角关系。设(\angle A = x)，那么(\angle E = x + 10)，在三角形(ABE)中，根据内角和(180^{\circ})，可列方程(x + (x + 10) + 42 = 180)，解得(x = 64)，即(\angle A = 64^{\circ})，因为(\angle A = \angle ACD)，内错角相等，所以(AB\parallel CD)。这道题运用方程思想求角度，进而论证结论。
练习：已知(\angle B = \angle ACE)，求证(\angle A = \angle DCE)。观察图形，(\angle ACD)是三角形(ABC)的外角，所以(\angle ACD = \angle A + \angle B)，又因为(\angle ACD = \angle ACE + \angle DCE)，且(\angle B = \angle ACE)，通过等量代换可得(\angle A = \angle DCE)。若在右边连接(DE)，使(\angle D = \angle ACE = \angle B)，就会得到相似三角形，这是相似中典型的一线三等角模型，说明要善于挖掘图形隐含条件，这里隐含的就是外角性质。
三角形有关的重要线段。
中线：已知(AD)是三角形(ABC)中线，则(BD = CD = \frac{1}{2}BC)，三角形三条中线的交点叫重心，在三角形内部，且中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，即(S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD})。
高：已知(AD)是三角形(ABC)高，则(\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ})。锐角三角形三条高交点在内部，直角三角形三条高交点是直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部一点。
角平分线：已知(AD)是三角形(ABC)角平分线，则(\angle 1 = \angle 2 = \frac{1}{2}\angle BAC)，三条角平分线交点叫内心，在三角形内部，内心到三边距离相等。
中位线：已知(DE)是三角形(ABC)中位线，则(DE\parallel BC)，(DE = \frac{1}{2}BC)，且(\triangle ADE\sim\triangle ABC)，相似比是(1:2)，面积比是(1:4)。
练习：在三角形(ABC)中，(\angle ACB = 90^{\circ})，(D)、(E)、(F)是三边中点，已知(CD)，求(EF)。看到中点，联想到中线、中位线。(CD)是直角三角形斜边上的中线，根据性质，(AB = 2CD = 4)，而(EF)是中位线，所以(EF = \frac{1}{2}AB = 2)。这启发我们看到中点，要联想中线、中位线性质。
练习：题目没图，已知(\angle B = 50^{\circ})，(\angle DAE = 15^{\circ})，求(\angle C)。先画图，根据题意标注信息。(\angle C)是三角形内角，要求(\angle C)，需知道(\angle BAC)，因为(AE)平分(\angle BAC)，所以先求(\angle BAE)。(\angle BAE = \angle BAD + \angle DAE)，(AD)是高，在直角三角形(ABD)中，(\angle BAD = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ})，所以(\angle BAE = 40^{\circ} + 15^{\circ} = 55^{\circ})，则(\angle BAC = 2\times55^{\circ} = 110^{\circ})，由三角形内角和(180^{\circ})，可得(\angle C = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 50^{\circ} = 20^{\circ})。但还有一种情况，当(\angle B \lt \angle C)时，(AD)在(AE)右侧，此时(\angle BAE = \angle BAD - \angle DAE)，(\angle BAD = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ})，(\angle BAE = 40^{\circ} - 15^{\circ} = 25^{\circ})，(\angle BAC = 2\times25^{\circ} = 50^{\circ})，(\angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 50^{\circ} = 80^{\circ})。所以答案是(20^{\circ})或(80^{\circ})，这告诉我们，当位置或大小不确定，尤其是题目没图时，要分情况讨论。