师：亲爱的同学们，大家好！七年级下册实数已经全部学完，这节课我们对这一章进行复习与总结。首先来看这一章的知识点：第一，开方的意义和特点；第二，平方根、算术平方根和立方根各自的特征和性质；第三，实数的相关概念；第四，无理数的估算；第五，实数的简单运算。
我们先看知识点一开方的意义和特点。小学我们学过乘方，比如(10)的平方是(100)，(10)的立方是(1000)。现在反过来问，什么数的平方是(100)，什么数的立方是(1000)，这就是开方运算。所以乘方运算跟开方运算是互为逆运算。
这里要特别提醒同学们，开方运算包括开平方跟开立方。开平方的特点是：一个正数开平方，结果有两个。比如(100)开平方，它的平方根是(10)和(-10)。而开立方结果只有一个，(1000)的立方根是(10)。部分同学学到这里会觉得陌生，因为小学训练的加减乘除乘方运算，前后结果是一一对应的，但开平方是一对二的运算，很多同学到初中会不适应，经常漏写负的平方根。所以总结一下，开平方运算是一对二的运算，答案往往有两个。
这里提个问题，开平方一对二这种特征，我们上初中后还在哪见过呢？对了，是绝对值。比如一个数的绝对值是(10)，这个数就有两个可能，(10)或者(-10)。这就是初中与小学的区别。
接下来看知识点二，平方根、算术平方根跟立方根。问大家一个问题，这三个为什么叫“根”呢？其实很多数学名词是从外国翻译过来的，外国叫“root”，翻译过来就是“根”。
我们看这三个根的表示方法，这是平方根的表示方法，这是算术平方根和立方根的写法。再看各自被开方数(a)的取值范围，平方根跟算术平方根的被开方数都是非负数，即(a\geq0)，因为负数不能开平方，这个一定要记住。但立方根很特别，(a)可以是任何数，也就是任何数都能开立方。
再看它们的性质。正数的平方根有两个，且互为相反数；算术平方根就是平方根中正的那个，是一个非负数，(0)的平方根是(0)，也是非负数。立方根只有一个，开立方前后符号相同，立方根的符号与被开方数相同。
这里重点关注算术平方根，我打了个星号。大家先想想，它怎么读，有什么特征？估计(99%)的同学会说读“根号(a)”，这么读没毛病，但这只是简称，它准确标准的读法是“(a)的算术平方根”。它其实就是平方根中正的那个，有个特殊名字。要是每次都说“(a)的算术平方根”太麻烦，所以口语化简称“根号(a)”，但我们心里要清楚，它给人一种正数的感觉。
有同学问，负的那个平方根叫啥？它就叫负的那个平方根，没特殊名字。因为大家都喜欢正能量的，正的平方根就有个漂亮名字叫算术平方根。也就是说，“根号(a)”的特征是一个非负数，即(\sqrt{a}\geq0)。之前学过的绝对值、(a)的平方与(a)的算术平方根，这三个并称为初中的三个非负数。看到这三个，心里就要知道它们给人一种正数的感觉，当然(0)的算术平方根是(0)，也是非负数。最后，开方是本身的数，(0)的平方根是(0)，(0)和(1)的算术平方根是它本身，立方根是本身的数是(-1)、(0)和(1)，这些考试经常考，大家要记住。
现在来做几道题，加深对这三个根的认识。
第一题，(64)的平方根是多少？
生：(\pm8)。
师：对，(64)的平方根有两个，(\pm8)。就像你是你爸的儿子，但你爸的儿子不一定只有你。所以大家记住，(64)的平方根是(\pm8)，很多同学经常漏写一个。
第二题，(\sqrt{64})等于多少？
生：(8)。
师：对，没读错，(\sqrt{64})准确读法是(64)的算术平方根，所以是正数(8)，不是(\pm8)。有没有同学冲动想写(\pm8)的？那可就错啦，因为它是(64)的算术平方根。
第三题，(\pm\sqrt{\sqrt{9}})等于多少？
生：(\pm\sqrt{3})。
师：对，因为(\sqrt{9}=3)，这题其实就是求(3)的平方根，所以是(\pm\sqrt{3})。
第四题，(-64)的立方根是多少？
生：(-4)。
师：对，做过几次了，(-64)的立方根是(-4)。
第五题，一个数的平方根是(a + 1)和(2a - 7)，求这个数。大家思考一下，写一写。
生：(9)。
师：算好了吗？一个正数的平方根有两个，且互为相反数，也就是(a + 1)和(2a - 7)互为相反数。互为相反数的性质是它们的和等于(0)，即((a + 1)+(2a - 7)=0)，解出(a = 2)。把(a = 2)代入(a + 1)，(a + 1 = 3)，(3)的平方就是(9)，所以这个数是(9)。
第六题，(\vert\sqrt{x - 5}\vert + \vert y - 2\vert = 0)，求(x + y)的值。谁来回答？
生：(7)。
师：对，口语化说(\sqrt{x - 5})其实是(x - 5)的算术平方根，是一个非负数，绝对值也是非负数，非负数加非负数等于(0)，除非两个同时等于(0)。所以(x = 5)，(y = 2)，(x + y = 7)。