师：同学们，大家好。今天我们一起来学习九年级人教版数学第22章22.3实际问题与二次函数。上课前提醒大家两件事：一是准备好必要文具；二是听课过程中可按需暂停，在练习本上书写过程。
本节课学习目标：通过对实际问题的分析，学会根据具体情况建立适当平面直角坐标系解决问题；运用二次函数图像性质解决实际问题，体会二次函数意义及数形结合思想。学习重点是建立适当平面直角坐标系，解决抛物线型拱桥问题。
日常生活中我们会看到抛物线型拱桥，来看一道相关问题：下图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2M时，水面宽4M，水面下降1M，水面宽度增加多少？
我们来分析题意，拱桥是抛物线型，无关背景可忽略。为便于说明，在图中标上字母。当拱顶离水面2M，对应的是线段H1的长度，即H1 = 2；水面宽4M，对应的是线段AB的长度，所以AB = 4；水面下降1M指的是线段EF的长度，即EF = 1，那么HF = 3。
问题问水面宽度增加多少，就是下降后的水面宽度减去原来的水面宽度，可用式子CD - AB表示。因为AB = 4，关键是求CD的长度，这就需要求点C、D的坐标，而点C、D在抛物线上，所以要先求抛物线表达式，首要问题便是建立平面直角坐标系。那如何建立能使计算简便呢？
由于建立平面直角坐标系需确定原点、x轴、y轴，可考虑原点取特殊位置，如抛物线顶点或抛物线上某个特殊点；也可考虑x轴或y轴取特殊直线，如已知线段所在直线或抛物线对称轴。对于本题，如果原点取抛物线的顶点H，我们来看解法一。
解法一解题步骤：
以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。同学们思考一下，此时该如何设抛物线表达式呢？相信大家都想到了，第二步可设抛物线表达式为y = ax2。
接下来求参数a，通过已知条件确定抛物线上某个点的坐标，代入表达式即可。由AB = 4，H1 = 2，可得A点坐标为(-2, -2)，B点坐标为(2, -2)。
把点A或点B的坐标代入表达式求a。
由HF = 3，得y = -3，代入抛物线表达式，求得点C、D的横坐标。
通过点C、D的横坐标求得线段CD的长度，从而计算CD - AB的值。
回顾解题步骤，最关键的是前面三步：建立平面直角坐标系；设抛物线表达式；用待定系数法求参数a。
请同学们根据以上步骤书写详细过程，对照以下详细过程：如图，以抛物线顶点H为原点，以抛物线对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。特别提醒，建立平面直角坐标系必须明确指出原点、x轴或y轴的位置。可设这条抛物线表示的二次函数为y = ax2。因为AB = 4，H1 = 2，所以OB = AB÷2 = 4÷2 = 2，B点坐标为(2, -2)。实际解题时，把B点坐标代入y = ax2可得a = -1/2，所以二次函数为y = -1/2x2。因为HF = 3，把y = -3代入解析式可求得x = ±√6，所以C、D坐标分别为(-√6, -3)，(√6, -3)。因为C、D纵坐标都等于 -3，所以线段CD长度可用D横坐标减去C横坐标求得，即CD = √6 - (-√6) = 2√6，所以CD - AB = 2√6 - 4。这是应用题，要作答：水面宽度增加(2√6 - 4)m。
请问还有其他解法吗？前面分析可知建立平面直角坐标系方法不唯一，如果原点取已知线段AB的端点A，可得解法二。
请同学们根据这个思路书写完整过程，对照以下完整过程：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。此时该如何设抛物线表达式呢？由已知条件可知抛物线顶点为H，坐标为(2, 2)，所以可设抛物线表达式为顶点式y = a(x - 2)2 + 2。因为抛物线过B(4, 0)，把B点坐标代入解析式，可求得a = -1/2。所以这条抛物线表示的二次函数是y = -1/2(x - 2)2 + 2。因为EF = 1，所以把y = -1代入y = -1/2(x - 2)2 + 2可得x = 2 ±√6。所以C、D坐标分别是(2 - √6, -1)，(2 + √6, -1)。因为C、D纵坐标都等于 -1，因此CD = (2 + √6) - (2 - √6) = 2√6，所以CD - AB = 2√6 - 4，水面宽度增加(2√6 - 4)m。