师：同学们，我们来学习第19章一次函数的复习课，先从一个实际问题开启今天的复习之旅。请仔细阅读题目、认真思考。从题目信息可知，小王、小张均从a地出发，小王先出发，小张半小时后出发，速度分别是每小时10千米、每小时60千米。
第一问，用语言描述小王和小张在路上前后位置的变化。根据条件，小王先出发，0.5小时后小张再出发，刚开始小王在前，小张在后。因为小张速度比小王快，后来小张追上小王，之后小张一直在前。
第二问，判断什么时间段小王在前，什么时间段小张在前，并说明理由。这是行程问题，涉及路程、速度与时间的关系，路程 = 速度×时间，速度 = 路程÷时间，时间 = 路程÷速度。第一问中能说明前后位置变化的量是路程 = 速度×时间，题中速度已知，需知道行驶时间。假设小王出发后行驶时间为x小时，小王、小张离a地的路程分别为Y1、Y2千米，易求得Y1 = 10x，Y2 = 60x - 30，Y1、Y2均随x改变而改变。
要判断前后位置，求出小张追上小王的时间即可，此时两人离a地路程相等，即Y1 = Y2，也就是10X = 60X - 30，解得x = 0.6。所以当x < 0.6时，小王在前；x > 0.6时，小张在前。也可在同一直角坐标系中画出这两个函数图像，小张追上小王的时间x = 0.6，即为两个函数图像交点的横坐标。x < 0.6时，Y1 > Y2，小王在前；x > 0.6时，Y1 < Y2，小张在前。
通过例一的解决，请同学们思考以下几个问题：用自己的语言描述什么是函数，怎样确定函数自变量的取值范围？函数有哪几种表示方法，各有什么特点？例一中用了解析式法和图像法表示函数，还有其他方法吗？例一中出现的函数是什么函数，它们的解析式是什么形式，图像又有哪些性质？例一中小王小张离a地的路程与时间的关系可用一次函数表达式表示，通过第二问的解决，能否理解一次函数和方程组、不等式之间的关系？带着这些问题，通过练习一起梳理本章知识点。
我们知道，在一个变化过程中，变量是数值发生变化的量，例一中的x和y就是变量，数值始终不变的量叫常量，例一中的10和60就是常量。根据定义，练习一答案为C。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。所以习题二正确答案为C，A、B、D选项中出现当x给定一确定值时，y有两个确定值与其对应。
在一个变化过程中，自变量x的取值范围是否有限定，又如何确定呢？看练习三，因为x - 3是被开方数，所以x - 3 ≥ 0；x - 4在分母位置，所以x - 4 ≠ 0，两个条件需同时满足，正确答案为D选项。对于实际问题，还要考虑自变量的实际意义，例如例一中自变量x表示时间，所以x ≥ 0。
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。可通过列表、描点、连线三个步骤画函数图像。除了解析式法、图像法，还有列表法，这是函数的三种表示方法，各有优点。
例一中函数Y1 = 10x，y与x满足y = kx（k为不等于0的常数）的函数叫正比例函数。所以练习一中a - 1 = 1，可得a = 2，此时k = 3不为0，答案为A。同理，练习2中第一个和第三个为正比例函数。通过描点法画正比例函数图像，可知其图像是一条过原点的直线。当k > 0时，正比例函数过一、三象限，y随x增大而增大；当k < 0时，正比例函数图像经过二、四象限，y随x增大而减小。根据这一性质，练习3中函数图像经过二、四象限，可得k < 0，正确答案为B。练习4中k的位置被k2 + 1取代，由平方的非负性可得k2 + 1 ≥ 1，故选A。
例一中函数y2 = 60x - 30，y与x满足y = kx + b（k、b均为常数，且k ≠ 0）的函数叫一次函数。可以发现，正比例函数是特殊的一次函数，所以练习一中第一个、第四个和第五个为一次函数。根据一次函数一般式特点，练习2中m2 - 8 = 1，且m + 3 ≠ 0，可解得m = 3。类比正比例函数，一次函数图像也是一条直线，根据两点确定一条直线，画一次函数图像只要确定两个点，这里要特别关注函数图像与坐标轴的交点。
一次函数图像所经过的象限不仅受k影响，也受b影响。和正比例函数一样，当k > 0时，直线y = kx + b必过一、三象限，y随x增大而增大；b > 0时，直线经过一、二、三象限；b < 0时，直线经过一、三、四象限。当k < 0时，直线y = kx + b必过二、四象限，y随x增大而减小；b > 0时，直线经过一、二、四象限；b < 0时，直线经过二、三、四象限。
下面通过3个练习题巩固。练习3中k > 0，b < 0，可判断直线经过一、三、四象限，答案为B。练习4中根据图像经过一、二、四象限，可得k - 3 < 0，解得k < 3。再看变式，由直线经过二、三、四象限，可得2 - 2k < 0且k - 3 < 0，解不等式组可得1 < k < 3。
看练习5和练习6。练习5中直线经过(-2, 2)，将点坐标代入解析式，即2 = -2k - 4，求得k = -3，此时解析式为y = -3x - 4。练习6中两直线平行，可得两直线k值相同，所以k = -1，直线与y轴交点纵坐标为 -2，可得b = -2，函数解析式为y = -x - 2。
根据题目条件求出k、b值，进而确定一次函数解析式的方法叫待定系数法。一般步骤为：先设出函数解析式，根据条件列出关于待定系数的方程或方程组，求解方程组或方程，最后把求出的系数代入所设解析式，写出这个解析式。
看这样一个练习：如图，求方程kx + b = 0的解，即求当y = 0时自变量x的取值，由图可知，也就是求直线y = kx + b与x轴交点的横坐标，答案为x = -2。一次函数与一元一次方程密切相关，与一元一次不等式也密切相关。看练习二，题目要求求kx + b > 0的解集，即求当y > 0时自变量的取值范围，从图像分析，就是直线在x轴上方部分所对应的x的取值，答案为x > -2。
任何一个二元一次方程都可化为一次函数y = kx + b的形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线，二元一次方程组的解对应两条直线交点的坐标。理解这点，练习三易得方程组的解为x = 2，y = 1。
接下来看几个例题。先看例二，第一问，由正比例函数定义，可得m - 3 = 0，解得m = 3；第二问，两直线平行，可得2m + 1 = 3，解得m = 1；第三问，因为y随x增大而减小，可得2m + 1 < 0，解得m < -1/2；第四问，函数图像经过(1, 4)，将点坐标代入解析式，解得m = 2，函数解析式为y = 5x - 1。通过例一学习知道，一次函数图像与y轴交点纵坐标就是y = kx + b中b的值，两直线平行，函数解析式中自变量系数k相等，当k > 0时，y随x增大而增大，当k < 0时，y随x增大而减小。
看例三，分析题中条件，图像不经过第三象限，分两种情况考虑：图像只经过二、四象限；图像经过一、二、四象限。当图像只经过二、四象限时，可得2m + 1 < 0，且 - m - 1 = 0，解得m = -1；当图像经过一、二、四象限时，可得2m + 1 < 0， - m - 1 > 0，解得m < -1。综上所述，m ≤ -1。
在实际生活中也常常用到一次函数知识。看例4，请认真读题、分析条件。根据条件，a、b两种园艺造型共50个。第一问，问符合题意的搭配方案有几种，假设a种造型为x个，则b种造型为50 - x个，根据用于搭配甲乙两种花卉总盆数的限定，列出不等式组，求出x取值范围，得出具体方案。
根据第一问，可搭配的方案有三种，分别求出所需费用，可知最低费用。也可假设所需成本为y元，求出y与x的函数关系式为y = -160x + 48000。由一次函数性质，当k < 0时，y随x增大而减小，所以当x = 33时，y有最小值42720元。
用一次函数解决实际问题，先理解题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应关系式。若是方案选择问题，要求出自变量在不同值时所对应的函数值，判断大小关系，结合实际需求选出最佳方案。
回顾例一，判断什么时间段小王在前、什么时间段小张在前的问题，可转换为函数值大小的比较，可通过函数图像得出相应函数值大小比较，即x取相同值时对应y值的大小比较，再通过解析式求出x的值或x的取值范围，将实际问题转换成数学问题。生活中有许多实际问题可通过构建数学模型解决。同学们，数学来源于生活又服务于生活，请用心观察、体会，一定能发现更多与数学相关的事物。课后请完成习题1 - 10，课堂到此结束，再见。