师：同学们，今天我们学习八年级人教版数学第十九章第二节第一课时——正比例函数。本节课学习目标有：结合具体情境体会和理解正比例函数的概念，能根据已知条件确定它们的表达式；会画正比例函数的图像；能根据正比例函数的图像和表达式(y = kx)（(k\neq0)），理解当(k\gt0)和(k\lt0)时图像的变化情况；理解正比例函数的增减性。
本节课学习重点是通过画图、观察，概括出正比例函数的性质，体会数形结合的思想方法。学习难点是理解用图像可以描述变量之间的对应关系，用变量的变化规律也可以解释图像特征。
通过前面的学习，我们认识了函数的概念，知道了函数的三种表示形式，也掌握了画函数图像的步骤和方法。今天我们将要学习其中一种特殊的函数。请同学们思考一下，下列问题中变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式。我们先来回顾一下函数的定义。
看第一小题，圆的周长随半径(r)的变化而变化，当半径(r)变化时，周长(l)有唯一的值与半径(r)对应，因此(l)是(r)的函数。根据圆的周长公式，可得(l = 2\pi r)。
第二小题，铁的密度是(7.9)，铁块的质量(m)随它的体积(v)的变化而变化，所以(m)是(v)的函数，可得(m = 7.9v)。
第三小题，每个练习本的厚度为(0.5)，练习本的总厚度(h)随本数(n)的变化而变化。总厚度(h)与自变量本数(n)之间是一一对应关系，因此(h)是(n)的函数，可得(h = 0.5n)。
第四小题，冷冻一个(0)度的物体，使它每分钟下降(2)度。物体的温度(T)随冷冻时间(t)的变化而变化。温度(T)与自变量时间(t)之间也是一一对应关系，因此温度(T)是时间(t)的函数，可得(T = -2t)。
下面我们观察一下这四个函数解析式的形式有什么共同特征。通过仔细观察，我们发现上面这些函数都是常数与自变量的乘积的形式。一般地，形如(y = kx)（(k)是常数，(k\neq0)）的函数叫做正比例函数，其中(k)叫做比例系数。
下面我们根据正比例函数的概念来判断一下，下列函数中哪些表示(y)是(x)的正比例函数。
第一小题，(y = -4x)，(x)的次数是一次，比例系数是(-4)，所以它是正比例函数。
第二小题，(y = 2x^{2})，(x)的次数是(2)次，所以它不是正比例函数。
第三小题，(y = \frac{3}{x})，不是数字与自变量的乘积，所以它不是正比例函数。
第四小题，(y = \frac{x}{5})，可写成(y = \frac{1}{5}x)的形式，(x)的次数是一次，比例系数是(\frac{1}{5})，所以它是正比例函数。
第五小题，(y = 6x + 1)，除了数字和自变量的乘积，还有与(1)的和，所以它不是正比例函数。因此答案只有一和四。
总的来说，正比例函数要满足两个条件：第一，自变量的次数是一次；第二，是常数与自变量的乘积的形式。
通过上节课的学习，我们知道函数的图像以几何形式直观地表示变量之间的对应关系，是研究函数的重要工具。下面我们来研究一下正比例函数的图像及其性质。
首先我们要画出下列正比例函数的图像。前面我们学习了用描点法画函数图像，它的步骤是：第一步，确定自变量的取值范围；第二步，从自变量取值范围内选取适当的数值进行列表；第三步，在平面直角坐标系中描点；第四步，用平滑曲线连线。今天我们依然采用描点法来画正比例函数的图像。
看第一小题，(y = 2x)，自变量(x)的取值范围是任意实数。第二步列表，(x)的值可以取(0)，正数、负数各(3)组，把(x)的值分别代入(y = 2x)，就可以得到(7)个点的坐标。第三步，在平面直角坐标系中分别描出这七个点，它们分别是(( - 3, - 6))、(( - 2, - 4))、(( - 1, - 2))、((0,0))、((1,2))、((2,4))、((3,6))。第四步，把这(7)个点连接起来，在函数图像的一侧写上(y = 2x)。这样我们就得到正比例函数(y = 2x)的函数图像了。
用同样的方法，我们可以动手画出函数(y = \frac{1}{3}x)的图像。
好，接着看第二小题，(y = - 1.5x)，自变量(x)的取值范围是任意实数。第二步列表，(x)的值可以取(0)，正数、负数各三组。把(x)的值分别代入函数(y = - 1.5x)就可以得到这(7)个点的坐标。第三步，在平面直角坐标系中描出这(7)个点，它们分别是(( - 3,4.5))、(( - 2,3))、(( - 1,1.5))、((0,0))、((1, - 1.5))、((2, - 3))、((3, - 4.5))。第四步，把这(7)个点连接起来，在函数图像的一侧写上(y = - 1.5x)。这样我们就得到正比例函数(y = - 1.5x)的函数图像了。
用同样的方法，我们可以画出正比例函数(y = - 4x)的函数图像。
根据问题一中所得的函数图像观察，正比例函数(y = kx)（(k\neq0)）的图像形状是什么？通过仔细观察，我们发现正比例函数是一条经过原点的直线。为什么正比例函数的图像一定经过原点呢？从数的角度来看，当(x = 0)时，(y = kx)，不管(k)取什么值，结果都等于(0)。所以无论(k)取任何值，直线都会经过((0,0))，所以正比例函数的图像必然经过原点。
正比例函数的图像是一条经过原点的直线。几何中的直线是怎样确定的呢？由此可以得到画正比例函数图像的简便方法吗？我们知道几何中两点确定一条直线。由此，我们就可以用两点法来画正比例函数的图像了。