师：同学们好，我们开始上课。先来回忆一下上节课内容，上节课遇到这样一个实际问题：当AB在直线l同侧时，要在l上找一点C，使得AC + BC的和最小。大家还记得怎么解决这个问题吗？
生：做出点B关于l的对称点B'，将同侧两点的线段和最小问题转化成异侧两点线段和最小的问题，再利用两点之间线段最短，连接A、B'，与l的交点C即为所求。
师：非常好，这里我们用到了轴对称变换实现线段的转移，从而将问题转化成已学知识来解决。那如果在这个问题中，把BD移到河对岸，从A地到B地需架一座桥梁，且河两岸平行，直线桥要和河垂直，桥MN要造在何处，才能使从A到B的路径AMNB最短呢？这就是历史上著名的造桥选址问题，也是本节课重点要解决的问题。
怎么解决这个题目呢？可以回忆上节课牧马人饮马的研究思路，先把这个实际问题抽象出数学模型。把两条平行的河岸看成两条平行直线，A、B两地看成两个定点。现在桥MN位置不确定，为研究方便，我们在河岸上任意取一座桥MN，连接AM、BN。也就是要求当MN在何处时，能使从A到B的路径AM + MN + BN的和最小。用数学语言清晰表述后，我们来找找题目中的条件，发现仅有两条平行直线和两个确定的点。AB、MN是为研究问题所选的一般点，要求MN在何处时，这三条线段和最小。能不能把这个问题简化一下呢？我们发现MN垂直于河岸，知道一个点位置就能确定另一个点位置，同时MN是平行线之间的距离，是定长，不影响最小值。于是就把所求的两个动点、三条线段和的最小值，转化成当点N在直线b什么位置时，有AM + NB的和最小。
通过转化得到两条线段和最小的问题，这和上节课内容有类似地方，大家能联想到哪一种图形？我们看到图形中A、B在直线两侧，很容易联想到上节课当A、B在l两侧时，在直线上找一点C，使得AC + BC和最小的图形。请同学们思考这两个图形的区别是什么？怎样通过图形变换转化成这个图形呢？我们观察到右图中AC、BC这两条线段和l交于同一个动点C，而左图中AM、BN和两条直线交于两个动点。怎样将两个动点转化成一个动点呢？可以借助图形变换。大家还记得图形变换包括哪些吗？轴对称解决了上节课的牧马人饮马问题，平移能帮我们解决今天的问题吗？请同学们先思考一下。
为使图中M、N两点重合，我们将AM沿着垂直于河岸的方向向下平移，使M、N两点重合，此时点A就移动到A'的位置。由平移性质可知，AM = A'N，AA' = MN，也就是将定点A沿着垂直于河岸的方向向下平移河宽的距离得到A'，从而将所求问题转化成当点N在直线b什么位置时，有A'N + BN的和最小。
转化后的问题，A'N和BN刚好共端点N，这就是上节课所学内容，同学们还记得怎么解决吗？
生：连接A'B与直线b的交点N，我们发现图形中有两个点N，前面的MN是为研究图形状态选的一般点，为和最小值的点N区分，记原来的点为M'N'。有了点N，怎么求点M呢？
师：因为桥MN垂直于河岸，所以过点N作垂直于河岸的垂线交直线a于点M，连接AM，则此时MN即为所求。我们梳理一下作图过程：如图，将点A沿着垂直于河岸的方向向下平移河宽的距离，得到A'，连接A'B与直线b交于点N，在点N处作河岸的垂线交直线a于点M，连接AM，则此时AM + MN + BN最短。当然也可以从点B出发，通过平移使两个动点重合，这个过程请同学们课后自己完成。
有同学会问，为什么这样找到的点M、N是符合条件的点呢？怎样用数学语言证明这个最小值？在上节课牧马人饮马问题中，我们也用数学语言证明过最小值问题。要证明AC + BC的和最小，就在直线l上另外再取一点C'，通过证明AC' + BC'的和大于AC + BC，从而说明点C就是要找的最小值的点。那么在这里按照同样方法，在河岸上另外再取一座桥M'N'，连接A'N'。
要说明AMNB最短，也就是要证明AM' + M'N' + BN'大于AM + MN + BN。这里M'N'和MN河宽相等，所以可简化为证明AM' + BN'大于AM + BN即可。通过平移性质可知AM' = A'N'，AM = A'N，于是只需证明A'N' + BN'大于A'N + BN，也就是A'B的长度即可。
观察这三条线段位置，A'N'和BN'恰好是A'、B这两点的折线距离，根据两点之间线段最短，上述不等式成立，即完成证明过程。请同学们按下暂停键，看一下完整的证明书写。至此，我们解决了造桥选址问题，来小结一下。在寻找解决方案过程中，多次用到转化思想。首先遇到MN造在何处使三条线段和最小的问题，从特殊线段MN入手，发现它垂直河岸，一个点确定另一点也确定，且是定长不影响最小值，于是把问题简化成当点N在直线b什么位置时，AM + NB这两条线段和最小。