师：同学们大家好，今天我们一起来学习13.4课题——最短路径问题第一课时。我们的学习目标有两个：一是能利用轴对称解决简单的最短路径问题；二是能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想。本节课的学习重点是利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间线段最短问题。
首先，请同学们观察这两幅图片，思考一下，生活中你通常如何选择路径，才能使所走的路径最短呢？下面先来看这道复习题：
如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
生：通过观察可知路线2最短，因为两点之间线段最短。
如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？即图中的PA、PB、PC、PD中哪条最短呢？
生：其中PC最短，因为垂线段最短。
这两道题我们都是通过在图中识别出最短路径，而今天我们要通过作图来学习一个著名的最短路径问题，即牧马人饮马问题。
例如图，牧马人从A地出发到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？同学们思考一下，这是一道实际问题，我们能不能将它转化成比较简洁、比较直观的数学问题呢？
我们一起来分析一下。牧马人从A地出发，然后到B地，我们可把A、B两地近似地看成点A、点B。由于这条河是笔直的，所以我们可近似地把它看成一条直线l。题目中问的是牧马人到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，所以我们要求的是在直线l上找一点C，使得CA + CB最短。这样我们就将这道实际问题用数学中的文字符号和图形语言进行表述，把实际问题转化成数学问题。
下面我们就一起来研究这个问题。例如图，在直线l上求作一点C，使CA + CB最短，这里点A、B是定点，而点C是l上的一个动点。点C在哪个位置我们不知道，我们不妨取一个一般的点C，连接CA、CB。同学们观察，当点C在直线l上运动到哪个位置的时候，CA + CB的和最短？好像不容易直接观察出来，那有没有其他的办法能够解决这个问题呢？同学们思考一下，你能联系已学的知识，回忆在最短问题中，我们是通过什么知识进行解决的呢？
我们联想到这样一个问题，如图，点A、B在直线l的两侧。在l上求作一点C，使得CA + CB最短，这里点A、B是定点，C是l上的一个动点。同样，我们不妨取一个一般的点C，连接CA、CB。同学们观察，当点C在直线l上运动的时候，CA + CB的和也在变化。那当点C运动到什么位置的时候，CA + CB的和最短呢？
生：通过观察我们发现当点A、C、B三点共线的时候，CA + CB的和最短。
师：对了，不过这是我们观察出来的，那有没有办法证明呢？我们来证明一下。在直线l上另外再任取一点C′，连接C′A、C′B。由于点A、C、B三点共线，所以CA + CB的和等于线段AB的长。所以CA + CB ＜ C′A + C′B，理由就是我们之前复习过的两点之间线段最短，此时的点C我们就证明了是满足CA + CB的和最短的点。下面我们一起来梳理一下做法。
连接AB，线段AB与直线l交于点C，点C即为所求，依据两点之间线段最短。
那我们能否用解决这个题的思想和方法来解决我们刚刚的牧马人饮马问题呢？我们来看一下，刚刚的牧马人饮马问题是A、B两点在直线l的同侧，而我们刚刚解决的问题是A、B在直线l的异侧，对于这个问题，我们只需连接AB与直线l交于点C即为所求。
那同学们思考一下，能否通过图形的变化把左边未知的问题转化为我们右边研究过的问题呢？我们从一个一般的点出发，我们想要做什么呢？我们想将其中的点B移动到直线l的另一侧B′，并且使得CB与CB′的长相等。那同学们想一想，什么样的图形变化能满足这一要求呢？
生：轴对称变换。
师：对了，于是我们过点B作关于直线l的对称点B′，连接CB′。由轴对称的性质我们知道此时CB = CB′。所以我们要求CA + CB的最小值问题就转化成了要求CA + CB′的最小值问题。而这个问题即是我们刚刚已经研究的点A和点B′在直线l两侧的最短路径问题，我们只需连接A、B′与直线l的交点，即为所求，下面我们一起来整理一下这道题的做法。