师：同学们好，今天我们学习人教版数学八年级上册第十二章第七课角的平分线的性质。下面我们先来明确这节课的学习目标：一是会用尺规作一个角的平分线，并且知道做法的合理性；二是探索并证明角的平分线的性质；三是能用角的平分线的性质解决简单问题。学习重点难点是探索并证明角的平分线的性质。
前面几节课我们学习了全等三角形的几种判定方法，今天我们将要利用全等三角形的判定方法，研究角的平分线的性质。角的平分线在生活中应用广泛，日常生活中有很多画角平分线的方法，比如利用一个平分角的仪器画角平分线，或者利用角尺作角平分线。你们知道这些仪器的工作原理吗？其实这两个仪器的工作原理类似，下面我们分析第一个仪器的工作原理。
如图，一个平分角的仪器由四条边组成，其中AB等于AD，BC等于DC。将点A放在角的顶点，AB、AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，AE就是∠DAB的平分线。你们能说明它的道理吗？说明这个仪器的工作原理，实际上就是证明AE是∠DAB的平分线，也就是证明∠DAC等于∠BAC。
通过前面的学习，我们知道要证明两个角相等，可以证明这两个角所在的三角形全等，也就是证明△ADC全等于△ABC。而这个仪器有两组边相等，AB = AD，BC = CD，又因为AC是公共边，根据全等三角形的判定方法“边边边”定理，可以证明两个三角形全等，从而证明AE是∠DAB的平分线。
另外一个仪器游标卡尺的工作原理和这个平分角的仪器的工作原理类似，我们不再重复证明。同学们，从这两个仪器的工作原理中，你们有什么启发呢？能否利用手上的直尺和圆规作一个角的平分线呢？下面我们一起来学习用尺规作角平分线。
请同学们准备直尺、笔、圆规，在练习本上任意作出∠AOB。第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；第二步，分别以点M、N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；第三步，画射线OC，则射线OC即为所求。最后下结论：解，如图，射线OC为所求。
刚刚我们学习了用尺规作角平分线的方法，并且知道做法的原理就是全等三角形的判定。那么角的平分线有哪些性质呢？下面我们来一起探究。
如图，作任意角∠AOB的角平分线OC，在OC上任取一点P，过点P作OA、OB的垂线，垂足分别记作D、E。现在我们让点P在OC上动起来，通过动画演示观察PD、PE并做比较，我们发现PD的长度总是等于PE的长度，而PD、PE的长度就是点P到角的两边OA、OB的距离。因此我们不妨大胆猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。这个猜想是否成立还需要经过严谨的推理论证，下面我们来证明这个猜想。
首先我们将这个猜想用符号和图形表示出来。如图，∠AOC = ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。求证：PD = PE。
我们可以从要求证的结论出发，要证明PD = PE，就是证明它们所在的两个三角形全等，也就是△PDO全等于△PEO。根据PD⊥OA，PE⊥OB，可以得到∠PDO = ∠PEO = 90°，而∠AOC = ∠BOC，PO是公共边。根据全等三角形的判定方法“角角边”定理，可以证明这两个三角形全等，从而证明PD = PE。下面是完整的证明过程，请同学们参考。
证明猜想成立后，我们就得到角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何语言表示为：如图，因为OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，所以PD = PE。