师：今天很高兴跟大家一起分享一节章节起始课——变量与函数。在新的一章学习开始之前，我们先来观看两个视频。先看第一个。
（播放视频）
师：来重温一下昨天晚上这一荣耀时刻。隋文静、韩聪，两届双人滑世界冠军，平昌冬奥会双人滑银牌获得者，并肩作战15年。短节目排名第一，自由滑曲目来自民谣《忧愁河上的金桥》，这是一首主题为朋友之间相互支持的民谣。2016年，隋文静因为脚伤大手术，职业生涯一度面临着终结的可能。韩聪不离不弃，鼓励支持帮助她重返赛场，之后两人在芬兰世锦赛上登顶世界冠军。
（视频片段）
i will try。
连转托举四周。
点兵点将三周、两周再接两周的连跳。
沙赫夫3周。
alright trouble water。
高跳萨霍夫。
3周。
oh my trouble water。
oh my trouble water。
中国选手隋文静韩聪。
师：在北京冬奥花样滑冰双人滑项目，随着中国选手隋文静和韩聪一组高难度动作的精彩演绎，左上角的计时得分不断增加，并最终超越了此前出场的最高分组合，赢得了这个项目的金牌。我们既沉醉于唯美的舞姿之中，又紧张地关注着计时得分的变化。我们再来观看第二个视频，在这段视频中，我们会留意到近些年来我国GDP总量在世界的排位不断变化，在不断努力中上升到世界第二的高位。在这一章中，我们要尝试找到研究变化过程的办法，从而帮助我们把变化莫测的过程变得变化可测。下面我们一起来遨游新的一章的奇妙世界吧。
我们先来看看小学学习过的两个变化过程。在第一个变化过程中，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系如下表。在第二个变化过程中，把相同体积的水倒入底面积不同的杯子，杯子的底面积与水的高度变化情况如下表。我们可以发现，随着购买彩带的数量增加，总价会随之增加；体积不变，随着底面积变大，水的高度会随之减小。在这两个变化的过程中，量与量之间不是各变各的，而是互有关联。进入初中，我们开始用字母表示数，大家暂停视频思考一下这三个小题。
（展示题目）
班级数$x$与粉笔盒数$y$的关系，每个班领3盒粉笔，随着$x$变化，$y$如何变化？这种关系如何表示？
已做数学题数$x$与未做数学题数$w$的关系，共有20道题，随着$x$变化，$w$如何变化？这种关系如何表示？
读完500页书所用天数$n$与每天读书页数$a$的关系，随着$a$变化，$n$如何变化？这种关系如何表示？
师：好，我们一起来看一下第一小题。随着$x$变化，$y$也会变化，更具体地来说，随着$x$变大，$y$也会变大，也就是班级越多，需要的粉笔盒也会越多，这种互相关联的关系也可以表示为$y = 3x$。第2小题类似，可以得出$w = 20 - x$。第3小题随着$a$变化，$n$也会变化。更具体地来说，随着$a$变大，$n$会变小，也就是每一天读得越多，读完所用的天数会变少。这种互相关联的关系也可以表示为$n = \frac{500}{a}$。在这些问题中，反映了不同事物的变化过程，其中有些量的数值是变化的，比如班级的数量$x$，有的年级班级多，有的年级班级少。再如煎饺的数量$x$，饿的时候多吃几个，不怎么饿的时候少吃几个。有的量的数值是始终不变的，比如不管班级多还是少，每个班都领取3盒粉笔，不管吃得多还是吃得少，每个煎饺都是1元。
在一个变化过程中，我们称数值会发生变化的量为变量，而数值始终不变的量为常量。那么大家想一想，在这一组小题中，变化过程的表现方法与前面两个例子有什么不同？同样都是表现变化的过程，刚刚买彩带和杯子装水，我们用的是表格的方式。而在这三个题中，我们用了一个关系式。我们再看一些不一样的变化过程。这个埃宾浩斯遗忘曲线的问题，大家暂停视频想一想。
（展示埃宾浩斯遗忘曲线）
师：这个问题有点不太好理解，对于$x$的每一个确定的值，$x$表示的是时间，比如$x$是60分钟，是一个确定的值，那么$y$就是44.2%，只有这一个值与60分钟对应。再比如$x$是8小时，与之对应的$y$是35.8%，只有这一个。那有的同学会问，那$x$是7小时，与之对应的$y$有吗？我们从图上看不到具体的读数，但这个对应的$y$是存在的，而且只有一个这样的数，大概在44.2%到35.8%之间，那么也就是对于每一个$x$确定的值，$y$都有唯一确定的值与之对应。顺着这个思路，我们再来看小王练习魔方的例子，大家暂停视频想一想。
（展示小王练习魔方的表格）
师：对于每一个确定的组数$x$，都能找到唯一确定的平均时间$y$与之对应，这个也是没问题的。难不成每一组还能算出两个平均时间？这种情况是不会出现的，像刚才的变化过程中，埃宾浩斯遗忘曲线以及小王练习魔方的例子。在一个变化的过程中，如果有两个变量$x$和$y$，并且对于$x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说$x$是自变量，$y$是$x$的函数。如果当$x = a$时，$y = b$，那么$b$叫做当自变量的值为$a$时的函数值。
有了这个定义以后，我们刚才讨论过这样的曲线，和小王练习魔方的表格就是一个函数，那这样的关系式也是函数吗？比如$y = 3x$，我们先给确定的$x$，如果$x = 1$，那么算出$y = 3$是唯一确定的。如果$x = 2$，那么算出$y = 6$，也是唯一确定的。那么我们可以知道，对于每一个确定的$x$都有唯一确定的$y$与之对应，所以$y = 3x$也是函数。那如果是这样，我们自然会问有什么样的变化过程是对于每一个确定的$x$与之对应的$y$是不唯一的吗？大家可以暂停视频想一想。
生：（思考并回答）
师：好，比如$y = ±3x$。如果$x = 1$，那么算出$y = ±3$，也就是有两个不同的$y$值与之对应，那这个不是函数。再比如求平方根的运算在这样的一个变化过程中。对于$x = 1$，那么算出平方根$y = ±1$，也就是有两个不同的$y$值与之对应。那这个也不是函数，学习了函数的概念，我们再来简单体会一下函数的作用。大家可以暂停视频想一想。