师：同学们好，今天很高兴和大家一起学习人教版数学八年级下册第18章平行四边形复习一。首先来看今天的学习目标：一、理解平行四边形与三角形的联系，进一步认识平行四边形和特殊平行四边形之间的关系；二、能运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定进行计算和证明。温故知新要关注前后知识的联系。
这里给出一条线段AC，点O是它的中点，那么有OA = OC 。在线段外再取一点B，连接AB、BC、BO，则BO是三角形ABC的中线。如果把BO延长到点D，使OD = OB，连接CD，那么三角形AOB与三角形COD全等，理由是边角边。连接AD，得到的四边形ABCD是什么形状？
生：是平行四边形。
师：对，OA = OC，OB = OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定它是平行四边形。在前面的学习中，我们知道在平行四边形的基础上添加一个特殊的条件，可以使它变成特殊的平行四边形。在平行四边形ABCD中，如果有一个角是直角，比如∠ABC = 90°，或者对角线相等，即AC = BD，那么它是矩形。如果在平行四边形ABCD中有一组邻边相等，比如AB = AD，或者对角线互相垂直，即AC⊥BD，那么它是菱形。根据正方形既是矩形又是菱形，请同学们课后想一想如何添加条件使平行四边形ABCD变成正方形。
从前面的分析，我们知道平行四边形和三角形密切相关，在解决平行四边形的问题上，我们可以选择证明三角形全等的路径，也可以直接运用平行四边形的性质和判定来解决问题。当然，我们应当优先选择直接运用平行四边形的性质和判定来解决的方法。请看题一，如图四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且OA = OC，OB = OD。若∠ABC = 60°，求∠ADC的度数。这道题第一个条件是四边形，第二个条件是对角线互相平分，即OA = OC，OB = OD 。
生：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定它是平行四边形。
师：这一步运用了平行四边形的判定方法。根据平行四边形对角相等可知，∠ADC = ∠ABC = 60°。这一步运用了平行四边形的性质。从这道题目的解决，我们感悟到运用平行四边形的性质和判定可以帮助我们解决问题。
如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O且OA = OC，OB = OD。若∠1 + ∠2 = 90°，且四边形ABCD的周长为40。求AB的长。
生：由上题可知，四边形ABCD是平行四边形。
师：这道题增加的第一个条件是∠1 + ∠2 = 90°，由三角形的内角和定理可知，∠BOC = 90°，即AC⊥BD。
生：根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，我们可以判定平行四边形ABCD是菱形。
师：这一步运用了菱形的判定方法。增加的第二个条件是四边形ABCD的周长为48，即已知菱形的周长求边长。根据菱形的四条边都相等，以及菱形的周长是四条边长之和，我们知道菱形的边长等于48÷4 = 12，即AB = 12。这一步运用了菱形的性质。从这道题的解决感悟到增加了∠1 + ∠2 = 90°可以使平行四边形ABCD变成菱形，然后再利用菱形的性质解决问题。
如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且OA = OC = 3，OB = OD。若∠1 + ∠3 = 90°，求BD的长。
生：由前面的题可知，四边形ABCD是平行四边形。
师：这里增加的第一个条件是OA = OC = 3，即AC = 6。这一步运用了线段的和差。增加的第二个条件是∠1 + ∠3 = 90°，即∠ABC = 90°。
生：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以判定平行四边形ABCD是矩形。
师：这一步运用了矩形的判定方法，根据矩形的性质对角线相等，即BD = AC = 6。从这道题的解决，感悟到增加了∠1 + ∠3 = 90°可以使平行四边形ABCD变成矩形，再利用矩形对角线相等这一性质解决问题。
如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且OA = OC，OB = OD。若∠1 + ∠2 = 90°，∠ABC = 90°，AB = 3，求四边形ABCD的面积是多少？
生：从上题可知，增加∠1 + ∠2 = 90°可以使平行四边形ABCD变成菱形。
师：增加∠ABC = 90°。
生：根据有一个角是直角的菱形是正方形，可以判定菱形ABCD是正方形。
师：这一步是运用了正方形的判定方法，增加的第三个条件是AB = 3。根据正方形的四条边相等，正方形的面积等于边长的平方，所以正方形ABCD的面积是9。从这道题目的解决感悟到增加∠ABC = 90°，可以使菱形ABCD变成正方形，然后再利用正方形的性质解决问题。
这个题组都是直接运用平行四边形的性质，或者是平行四边形加特殊条件，使它变成特殊的平行四边形。前面我们利用平行四边形和特殊平行四边形的性质和判定，在一个平行四边形中进行了一些简单的计算。下面我们运用平行四边形的性质和判定在多个平行四边形中进行证明。请看例题。