师：同学们，接下来我们一起学习九年级人教版数学第27章相似三角形的性质。请看学习目标：一、能探索相似三角形性质的证明过程；二、理解相似三角形的性质，并能运用其计算有关角、边、周长和面积问题。学习重点是相似三角形性质定理的探索及应用。
这里有个问题，隔壁老王有一块三角形土地，如图所示，在三角形ABC中，DE平行BC ，且DE与BC的比是2 : 3。老王打算把这块土地分给他的两个儿子大王和小王，可两人对分地之事还没达成协议。
大王说：“我要四边形DBCE那块地，你就拿三角形ADE那块地。”
小王说：“不行，四边形DBCE那块地比三角形ADE那块地大。”
大王说：“既然你说四边形DBCE比三角形ADE大，那你说大多少？”
师：同学们，四边形DBCE的面积会比三角形ADE的面积大吗？为什么？后面我们将通过学习相似三角形的性质来帮小王解答这个问题。
前面我们学过相似三角形的定义，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。三角形中有各种几何量，除了三条边的长度、三个内角的度数，还有高、中线、角平分线的长度以及周长、面积等。那么，如果两个三角形相似，它们的这些几何量之间又有什么关系呢？下面我们带着这个疑问来观察。
如图，已知三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为1 / 2，AD、A'D'分别为三角形ABC和三角形A'B'C'的高。请观看动画。通过观察我们发现，对应高的比AD与A'D'的比等于1 / 2，相似比为1 / 2，对应高的比也为1 / 2。因此我们猜想：相似三角形对应高的比等于相似比。
如图，已知三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为1 / 2，AD、A'D'分别为三角形ABC和三角形A'B'C'的中线。请看动画。同样，我们观察到三角形对应中线的比AD与A'D'的比为1 / 2。因此我们猜想：相似三角形对应中线的比等于相似比。
如图，已知三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为1 / 2，AD、A'D'分别为三角形ABC和三角形A'B'C'的角平分线。请看动画。同样，我们观察到对应角平分线的比AD与A'D'的比等于1 / 2，因此我们猜想：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
前面是我们的三个猜想，现在我们来一一论证。
首先，相似三角形对应高的比等于相似比。我们把命题改写为：如图，三角形A'B'C'相似于三角形ABC，相似比为k，分别作B'C'、BC上的高A'D'、AD。求证：A'D' / AD = k。
我们知道相似比是对应边之间的比，要证明对应高的比等于相似比，只需证明对应高的比等于对应边的比。前面我们知道，要证明两组线段比值相等，一般通过证明其线段所在的三角形相似，所以我们要证明三角形A'B'D'和三角形ABD相似。
下面来看证明过程：因为三角形A'B'C'相似于三角形ABC，所以对应角相等，即角B' = 角B。又因为两条高，所以有两个直角，根据两角分别相等的三角形相似，可得三角形A'B'D'相似于三角形ABD。所以A'D' / AD = A'B' / AB = k。因此，相似三角形对应高的比等于相似比得证。
接着，相似三角形对应中线的比等于相似比。我们把命题改写为：已知三角形ABC相似于三角形DEF，AM、DN分别为三角形ABC和三角形DEF的中线，求证AM / DN = AB / DE。
前面提到，要证明两组线段的比值相等，一般证明其线段所在的三角形相似。同学们思考一下，要证明AM / DN = AB / DE，需要证明哪两个三角形相似呢？没错，就是需要证明三角形ABM和三角形DEN相似。
下面请看证明过程：因为三角形ABC相似于三角形DEF，相似三角形对应角相等，对应边成比例，所以角B = 角E，BC / EF = AB / DE。又因为AM、DN分别为三角形ABC和三角形DEF的中线，所以BC = 2BM，EF = 2EN，改写成比例形式为BC / EF = BM / EN。等量代换后，有AB / DE = BM / EN。两边成比例且夹角相等，所以三角形ABM相似于三角形DEN。最终得到AM / DN = AB / DE。因此，相似三角形对应中线的比等于相似比得证。
然后，相似三角形对应角平分线的比等于相似比。我们把它改写为：已知三角形ABC相似于三角形DEF，AM、DN分别为三角形ABC和三角形DEF的角平分线，求证AM / DN = AB / DE。
通过前面两个猜想的推理论证，相信同学们可以独立完成这个证明了。同学们可以先按暂停键来完成这个证明。
好的，同学们，相信大家应该已经完成了，我们来一起看一下证明过程。因为三角形ABC相似于三角形DEF，对应角相等，所以角B = 角E，角BAC = 角EDF。又因为AM、DN分别为角BAC和角EDF的角平分线，所以角BAM = 1 / 2角BAC，角EDN = 1 / 2角EDF。等量代换后，角BAM = 角EDN。两角对应相等的三角形相似，所以三角形AMB相似于三角形DNE，所以AM / DN = AB / DE。因此，相似三角形对应角平分线的比等于相似比得证。