师：同学们，今天我们学习点与圆、直线与圆的位置关系，以及三角形的内切圆。本节课的学习目标有三个：一是理解三角形内切圆和内心的概念；二是会作三角形的内切圆，体会划归思想；三是能利用三角形内切圆及内心的知识进行相关计算。
首先，看问题一：如图，有一块三角形的铁皮余料，怎样在上面截下一块圆形用料，使截得的圆面积最大？通过画草图我们发现，有多种画法，不断移动并放大圆，会出现圆与三角形一边相切，或两条边相切的情况。要使圆面积最大，这个圆需与三角形三边都相切。那如何截出这块最大面积的圆呢？也就是如何作一个圆，使其与已知三角形各边都相切？根据圆的定义，画圆需确定圆心和半径。
我们先来找圆心。假设已作出这个圆，它与三角形三边都相切，即三角形三边是圆的切线。根据切线性质，圆心到切线的距离等于半径，也就是圆心(O)到三角形三边距离都相等，都等于半径。取其中两条边，可得圆心(O)到(AB)、(BC)的距离相等，由角平分线性质定理的逆定理可知，点(O)在(\angle ABC)的角平分线上，通过尺规作图可作出(\angle ABC)的角平分线。同理，圆心(O)到(BC)和(AC)的距离也相等，即点(O)在(\angle ACB)的角平分线上，那么圆心(O)就是(\angle ABC)和(\angle ACB)角平分线的交点，这样就找到了圆心位置。
接着确定半径。已知圆心与切线，过点(O)作(OE\perp BC)于点(E)，(OE)就是半径。以点(O)为圆心，(OE)为半径，就可画出这个圆。我们把这个圆叫做三角形的内切圆，由此得到三角形内切圆的概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。这就是本节课要学习的两个概念：三角形的内切圆和内心。接下来运用概念解决问题。
先看例题，如图，三角形(ABC)的内切圆(O)与(BC)、(CA)、(AB)分别相切于(D)、(E)、(F)，有三个小题。
第一小题，若(AF = 4)，(BD = 5)，(CE = 9)，求(AB)、(BC)和(AC)的长。目标是求三角形三边边长，已知(AF)、(BD)和(CE)，求出(BF)、(CD)和(AE)的长就能解决问题。根据三角形内切圆定义及切线长定理，可得出(BF = BD = 5)，(CD = CE = 9)，(AE = AF = 4)。通过计算，(AB = AF + BF = 4 + 5 = 9)，(BC = BD + CD = 5 + 9 = 14)，(AC = AE + CE = 4 + 9 = 13)，这道题就解决了。回顾这道题，通过三角形内切圆概念得出三组切线长定理的基本图形，隐含三组相等线段，通过线段相等进行计算得出答案，实质是已知切线长求边长的问题。
第二问，若(AB = 9)，(BC = 14)，(CA = 13)，求(AF)、(BD)和(CE)的长。与第一问相反，已知三角形三边边长求切线长。由第一问分析可知，题目隐含三组相等线段，即(AF = AE)，(BF = BD)，(CD = CE)。我们将这三组相等线段分别用字母(x)、(y)和(z)表示，根据题目条件可列出三元一次方程组：(\begin{cases}x + y = 9\y + z = 14\x + z = 13\end{cases})，通过计算可得(AF = 4)，(BD = 5)，(CE = 9)。这里体现了方程思想，也可减少未知数个数。设(AF = x)，则(AE = x)，由边长条件可得(BF = 9 - x)，(CE = 13 - x)，再根据切线长定理，(BD = 9 - x)，(CD = 13 - x)，利用最后一条边长条件列出一元一次方程，解方程得出答案。
第三小问，若三角形(ABC)周长为(33)，(OE = 4)，求三角形(ABC)面积。分析题目条件，(OE = 4)说明三角形内切圆半径为(4)，这道题就是已知三角形周长和内切圆半径求面积。关于三角形面积，关键是找底和高，但本题不知道任意一条边上的高。已知条件是周长和内切圆半径，解决关键在于建立面积与它们的联系。
由三角形内切圆概念，三角形三边是圆的切线，根据切线性质，半径垂直于切线，得到(OE\perp AC)、(OD\perp BC)、(OF\perp AB)。有了垂直，可将三角形(ABC)分割成三角形(ABO)、三角形(BCO)和三角形(ACO)三个小三角形，内切圆半径就是这三个小三角形的高，从而建立三角形面积与内切圆半径的联系。通过列式可得：三角形面积( = \frac{1}{2}AB×r + \frac{1}{2}BC×r + \frac{1}{2}AC×r = \frac{1}{2}r×(AB + BC + AC))，(AB + BC + AC)就是三角形(ABC)的周长(33)，(r)是内切圆半径(4)，通过计算可得三角形(ABC)面积为(66)，问题解决，这里用了割补法求三角形面积。