师：同学们，今天我们学习人教版数学九年级上册第25章第5课时——用频率估计概率。本节课学习目标是学会用频率估计概率并解决实际问题，学习重点是用频率估计概率，学习难点是理解用频率估计概率的合理性和必要性。我们先来思考第一个问题，抛一枚质地均匀的硬币，硬币落地后会出现哪些可能的情况呢？
生：会出现正面向上和反面向上两种情况。
师：那么它们的概率分别是多少呢？
生：由前面学习的列举法可知，正面向上和反面向上的概率都是0.5。
师：那这是不是意味着抛这一枚质地均匀的硬币100次就一定会有50次正面向上呢？不止抛100次，多次抛这枚质地均匀的硬币会出现什么情况呢？请同学们想一想，我们一起来用一个实验进行探究。先来看看如何抛掷和记录次数。手势如图，保持手臂平行于水平面，将硬币放于食指弯曲处，保持一定高度，使用拇指的力量抛掷硬币，这样做是为了保证每一次的实验条件相同。硬币落地后可以用画“正”字法记录实验结果，我们可以分工合作，也可以一人在家中完成实验。分工合作的话，全班同学可以分成8组，每组抛掷一枚硬币50次，组内一名同学负责抛硬币并报告实验结果，一名同学用画记法记录实验结果，一名同学监督，尽可能保证每一次实验条件相同。其他同学整理表格数据。第一组的数据填在第一列，第一、二组共抛100次硬币，正面向上的次数之和填在第2列，以此类推，8组共抛400次硬币，正面向上的次数之和填在第8列，并算出对应的正面向上的频率。怎么算呢？就是用正面向上的次数m除以抛掷的次数n。同学们可暂停视频并操作实验。
我们来看看一组同学在实验中得到的数据，抛50次硬币，正面向上的次数是23次，那么正面向上的频率就是23÷50 = 0.46。抛100次正面向上是46次，那么频率就是46÷100 = 0.46，以此类推。大家发现了吗，抛100次正面向上不一定是50次。继续记录数据，观察这些数据，我们能从中发现什么呢？继续进行实验探究。根据你在实验中得到的数据，我们可以绘制一个统计图，横轴为抛掷次数，纵轴为正面朝上的频率。老师用同学们前面得到的数据也绘制了一个统计图，描出各抛掷次数对应的点，如抛50次硬币正面向上的频率是0.46，并依次连接这些点，和你们自己绘制的对比一下，思考硬币正面向上有什么规律？这个频率看起来大概在0.5附近。同学们可以在图中用红笔画出频率为0.5的直线，这样我们能更直观地看到，正面朝上的频率确实在0.5附近摆动。
同学们再思考一个问题，随着抛掷次数的增加，正面向上频率的变化趋势是什么呢？
生：随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动，幅度会越来越小。
师：非常好。历史上一些数学家做了抛掷硬币次数更多的实验，皮尔逊共抛了24000次，正面向上的频率为0.5005，与0.5非常接近，这更证实了我们刚刚的发现。一般来说，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性，在0.5附近的摆动幅度会越来越小。这个时候我们称正面向上的频率稳定于0.5，它与前面我们用列举法得到的正面向上的概率是同一数值。在抛一枚硬币时，结果不是正面向上，就是反面向上。当正面向上的频率稳定于0.5时，反面向上的频率也稳定于1 - 0.5 = 0.5，它与前面用列举法得到的反面向上的概率也是同一数值。
通过抛硬币的实验，我们可以得到这样一个结论，对于一般的随机事件，通过大量重复的实验，随着实验次数的增加，一个事件出现的频率总是在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性，因此我们可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率。有些同学可能会说，用列举法求概率不是更简单吗？那为什么还要用频率来估计概率，然后再去求概率呢？这不是更复杂吗？我们要想一想用列举法求概率需要满足什么样的条件？
生：需要满足两个条件，第一，可能出现的结果数是有限的；第二，每种结果的可能性还要相等。
师：非常好。刚刚抛硬币的实验满足了这两个条件，所以它既可以用列举法求概率，也可以用频率估计概率。那如果老师把抛硬币的实验换成抛图钉的实验，能否用列举法来求出概率？也就是它是否满足刚刚所说的两个条件？我们先来看第一个条件，从一定高度落下的图钉着地时会出现哪些可能的结果呢？
生：会出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果，是有限的，满足第一个条件。
师：那第二个条件，这两种结果出现的可能性相等吗？
生：我们无法判断钉尖朝上和钉尖朝下是否具有等可能性，所以不满足第二个条件，没办法用列举法来求出概率。
师：那我们能不能用刚刚所学的用频率来估计概率呢？如何操作？同学们可暂停视频，类比前面抛硬币的实验操作，自己尝试一下抛图钉的实验操作。好，我们一起来梳理一下步骤。第一步，我们可以一起，也可以一个人抛这一枚图钉共400次，每隔50次记录钉尖朝上的次数。接下来还要计算钉尖朝上所对应的频率是多少。这是老师在实验中得到的一些数据，如老师抛50次，钉尖朝上28次，那么钉尖朝上的频率就是28÷50 = 0.56，以此类推。计算完频率，接下来做什么呢？
生：绘制一个统计图，把对应的点描上去，并依次连接，连完之后观察频率变化趋势。
师：没错。我们发现随着实验次数的增加，钉尖朝上的频率稳定在0.56附近。从而我们可以估计出钉尖朝上的概率就是0.56，同时我们还可以求出钉尖朝下的概率是1 - 0.56 = 0.44。我们已经知道用频率估计概率的好处了，用频率估计概率虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但是由于它不受各种结果出现的可能性相等这个条件的限制，使得求概率的随机事件的范围一下子扩大了。例如，抛一枚图钉，不能用列举法求钉尖朝上的概率，但它可以通过大量重复实验用频率估计出它的概率，这就是我们学习用频率估计概率的必要性。