师：同学们，大家好。今天我们要学习的内容是人教版八年级上册第十二章“角的平分线的性质（二）” 。本节课的学习目标是探索并证明角的平分线的判定定理，会应用角的平分线的判定进行简单的计算或证明。学习重点是探索并证明角的平分线的判定定理，学习难点是综合应用角的平分线的性质与判定进行计算或者证明。下面开始上课。
上第四章我们学习了角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。如图，OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1 = ∠2。反过来，如果∠1 = ∠2，那么 OC 是∠AOB 的平分线。上节课我们学习了用尺规作一个角的平分线的方法，并用全等三角形证明了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。也就是说，如果 OP 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，那么 PD = PE。今天我们继续来学习角的平分线的判定方法。
通过前面的学习，我们知道定义是判定角平分线的一种办法，那么除了定义之外，还有没有其他的办法可以判定角的平分线呢？学习平行线时，我们知道平行线的性质，比如两直线平行，内错角相等，交换题设和结论的位置可以得到平行线的判定：内错角相等，两直线平行。那么如果我们将角的平分线的性质，它的题设和结论交换位置能否得到角的平分线的判定呢？也就是说角的内部到角两边距离相等的点，它是否在角的平分线上呢？
根据题意，我们画出图形，并用符号语言表示出已知、求证。已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，且 PD = PE。求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。
要说明点 P 在∠AOB 的平分线上，我们不妨作射线 OP，证明 OP 平分∠AOB。根据角平分线的定义，也就是说要证明∠AOP = ∠BOP。要证明两个角相等，我们可以证明这两个角所在的三角形全等，即证明△DOP ≌ △EOP。
根据题目的已知，PD = PE，两个垂直的条件可以得到∠PDO = ∠PEO = 90°，再加上隐含条件 OP = OP。由斜边直角边定理，我们可以直接得到这两个直角三角形全等，进而推出点 P 在∠AOB 的平分线上。下面我们来看这个命题的证明过程。
作射线 OP，因为 PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO = ∠PEO = 90°。在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，满足条件 OP = OP，PD = PE。根据斜边、直角边定理（HL），我们可以得到 Rt△PDO ≌ Rt△PEO。这里使用斜边直角边定理证明直角三角形全等，其证明格式与一般全等三角形证明的格式不太一样，请同学们留意。
根据全等三角形的对应角相等，我们得到∠AOP = ∠BOP，所以点 P 在∠AOB 的平分线上。这样我们就得到了角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。几何语言表述为：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，且 PD = PE，所以点 P 在∠AOB 的平分线上。
这个角的平分线的判定定理为什么要强调在角的内部呢？我们下面来看一个例子。如图，∠AOB 反向延长射线 OB 得到∠AOB 的邻补角∠AOC。在∠AOC 的内部，我们找到一个点 P，若 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，而且满足 PD = PE，此时点 P 并不在∠AOB 的平分线上。事实上，点 P 在∠AOB 的邻补角∠AOC 的平分线上。由此可以看出，在利用角的平分线的判定定理时，大家一定要留意点在角的内部这个隐含条件。那么运用这个定理我们还要注意些什么呢？下面我们看三个判断题。
第一，如图 1，QM = QN，则 OQ 平分∠AOB。这个说法是错误的。看右边这个图，尽管图中有 QM = QN，但是缺少了垂直的条件，所以我们不能说 OQ 平分∠AOB。
第二题，若 QM⊥OA 于 M，QN⊥OB 于 N，则 OQ 是∠AOB 的平分线。这里虽然有了垂直的条件，但并没有说明 QM 和 QN 的数量关系。比如说右边这个图，我们可以看到 QM 和 QN 不相等，所以 OQ 并不是∠AOB 的平分线，因此这个题的说法也是错误的。
第 3 题，如图 3，QM⊥OA 于 M，QN⊥OB 于 N，且 QM = QN，则点 Q 在∠AOB 的平分线上。此时我们可以看到点 Q 是在∠AOB 的内部的，而且满足了双垂直及等线段的条件，因此这个题的说法是正确的。由这个题可以看出，同学们在利用角的平分线的判定进行说理证明的时候，双垂直和等线段两个条件缺一不可。
另外我们观察图 3，OQ 是∠AOB 的平分线，那么 QO 是否平分∠MQN？由前面的说理，我们可以知道，此时∠AOQ = ∠BOQ。根据等角的余角相等，我们马上可以得到∠MQO = ∠NQO，所以此时 QO 也是∠MQN 的平分线。