师：同学们好，今天我们一起学习人教版数学八年级下册第17章第三课勾股定理的证明。我们先来明确今天的学习目标：第一，探索用多种方法证明勾股定理；第二，体会方程思想、转化思想、数形结合的数学思想方法。第一节课我们了解了勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2。第二节课我们用两种方法表示同一个图形的面积，再进行代数推理，证明了勾股定理。勾股定理的证明方法有数百种之多，今天我们继续来学习其他的证明方法。
曾有人这样拼图，用4个直角三角形，两两拼成一个长方形，这样拼得到的两个绿色的四边形是正方形。再用四个直角三角形那样拼，中间得到的也是正方形。有同学会问，为什么中间的四边形是正方形？这个四边形的四条边是由四个全等的直角三角形的斜边组成，所以四条边都相等。直角三角形的两个锐角互余，所以∠1 + ∠2 = 90°。因为∠1 = ∠3，所以∠2 + ∠3也等于90°，那么∠4 = 90°，同理可证，其他的三个角也是90°。四条边相等，四个角都是直角的四边形就是正方形。
师：你能根据这两种拼图的方法证明勾股定理吗？要证明勾股定理，也即是要证明a2 + b2 = c2，我们分别把这两个大正方形的面积记作S1和S2。显然这两个大正方形的边长都是a + b，所以它们的面积是相等的，也即是S1 = S2 = (a + b)2。
师：好，我们再来看一下图1。这个大正方形是由两个小正方形和四个直角三角形组成，其中两个小正方形的边长分别为a、b，所以这两个小正方形的面积的和就等于a2 + b2。四个直角三角形的直角边分别为a、b，显然这四个直角三角形是全等的，每一个直角三角形的面积是$\frac{1}{2}$ab，因此我们得到S1 = a2 + b2 + 4×$\frac{1}{2}$ab = a2 + b2 + 2ab。这其实是八年级上学期我们学过的完全平方公式。
师：接下来我们再看图2，这个大正方形是由一个边长为c的小正方形和4个直角三角形组成。所以我们得到S2 = c2 + 4×$\frac{1}{2}$ab，化简得c2 + 2ab。因为S1 = S2，所以我们得到一个等式，a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab。等式两边同时减去2ab，就得到了a2 + b2 = c2。
师：传说中，毕达哥拉斯设计了两个边长分别为a、b的正方形，又设计了四个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形，通过不同的组合方式，得到两个边长都是a + b的大正方形。撤去四个直角三角形，剩余的图形面积显然是相等的，这其实是一个转化的过程。
师：接着我们再来看一下这道题的详细证明过程。我们先把图1和图2的面积记为S1和S2，图1的大正方形边长是a + b，所以它的面积可以表示为(a + b)2。从局部来看，图1这个大正方形是由两个小正方形加上四个直角三角形组成，所以S1也可以表示为a2 + b2 + 4×$\frac{1}{2}$ab，化简得a2 + b2 + 2ab。图2这个大正方形，它的边长也是a + b，所以S2也是等于(a + b)2。从局部来看，图2是由一个小正方形和4个直角三角形组成，所以S2 = c2 + 4×$\frac{1}{2}$ab = c2 + 2ab。这里我们从两种不同的角度表示两个面积相等的图形。因此我们可以得到一个等式，a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，等式两边减去2ab，也就得到了a2 + b2 = c2。
师：在这里我们运用等面积法建立方程，再进行化简，证明了勾股定理。等面积法与方程思想、数形结合密切相关，我们要重视它的作用。通过上一节课的学习，我们知道图3的方法是赵爽弦图，我们把图3隐去一半得到图4。你能根据图4证明勾股定理吗？从图形变化来看，图4是由图3隐去一半得到的，那么图4的面积就等于图3面积的一半。也即是上一题我们证明的等式，整体除以2就得到$\frac{1}{2}$(a + b)2 = $\frac{1}{2}$c2 + $\frac{1}{2}$×2ab，这样也是可以证明勾股定理。
师：从图形结构来看，图4它是一个梯形的面积，你还记得怎么求吗？上底加下底的和乘以高除以2。这是从整体来看，如果从局部来看，我们发现图4是由3个直角三角形组成的，所以图4的面积等于三个直角三角形的面积之和，也即是梯形的面积等于3个直角三角形的面积之和。于是我们得到等式$\frac{1}{2}$(a + b)2 = 2×$\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$c2。我们发现这个方程跟上面的方程是一样的，也能证出勾股定理。证明过程如下。