师：同学们好，今天我们来学习人教版八年级下册第18章平行四边形小专题复习。首先明确学习目标：一是运用等腰三角形、平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定方法进行证明；二是感受角平分线在平行四边形中的作用，并运用它解决相关问题。从学习目标可知，今天会涉及角平分线和平行线，那这两条线碰到一起会得出什么特殊图形呢？来看题一。
题一：如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，求证：△ABE是等腰三角形。
要证明一个等腰三角形，只需在三角形中找到两个相等的角。从条件看，由平行四边形一组对边AD∥BC，可得∠1 = ∠3，又因为角平分线BE，可得∠1 = ∠2，根据等量代换，∠2 = ∠3，再依据等角对等边，得到AB = AE，这样等腰三角形ABE就得证了。
我们发现，在平行四边形中加上一条角平分线，就能得到等腰三角形，这有助于在平行四边形中寻找线段的等量关系，比如边的关系。来看看题一中线段DE、DC、BC之间有什么数量关系。
先找出四边形中相等的线段，由平行四边形ABCD对边相等，可得BC = AD，AB = DC，再由等腰三角形ABE，得AB = AE，等量代换后，AE = DC。将这些等量线段进行代换，可得DE + DC = DE + AE = AD = BC。
下面把图形稍作变换，看题2。将图一中的边CD沿着边AD所在直线左右平移，BE平分∠ABC分别交射线AD、CD于点E、F，线段DE、DC、BC之间有什么数量关系？
看第二幅图，F点是线段BE、CD延长线的交点，由于图中的E点与图一中E点位置无变化，所以线段关系依然是DE + DC = BC。
再看第三幅图，因D点位置变化，线段关系改变。由平行四边形中的平行线和角平分线，还能得到两个等腰三角形，即△BCF和△DEF，于是可得BC = CF，DE = DF。经过数量转换，得到DE + BC = DC。同学们想一想，在这个变换过程中有个特殊位置，当CD平移到经过点E时，图一、图二、图三中的结论都变成了DC = BC。根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，此时平行四边形ABCD是菱形。
从刚才的两个题和思考中，我们发现平行四边形加上角平分线能找到边和角的数量关系，那当两条角平分线遇到平行四边形时，又会有怎样的图形结构呢？来看题三。
题三：如图，在平行四边形ABCD中，BE和DF分别平分∠ABC、∠ADC，BE交AD于点E，DF交BC于点F，求证：BE∥DF。
要证明两条线平行，可从角的关系出发，比如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，现在学了平行四边形，平行四边形对边平行，方法更多了。
由题目中的平行四边形和两条角平分线，能得到两个等腰三角形△ABE和△CDF，这两个等腰三角形的其中一条腰AB和CD恰好是平行四边形的一组对边，所以相等。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BFDE是平行四边形，进而证得BE∥DF。
同学们思考一下，平行四边形任意两个内角的角平分线有什么位置关系？刚才看到平行四边形一组对角的角平分线互相平行，那菱形的角平分线呢？画个图可看到它们相交。
相交情况中有特殊的垂直关系，不妨猜想一下，题目中AD∥BC，可得同旁内角∠DAB和∠ABC互补，于是角平分线所产生的∠1 + ∠2 = 90°，所以AF⊥BE。
因此，平行四边形任意两个内角的角平分线互相平行或者互相垂直。同学们再想想，有没有特殊情况漏掉？菱形的对角线平分一组对角，意味着菱形对角的两条角平分线互相重合。所以准确来说，在平行四边形中，两个对角的角平分线互相平行或者重合，菱形的角平分线互相垂直。
现在来解决课本上的一道题目。
如图，AC∥BD，AF平分∠BAC且交BD于点F，BE平分∠ABD且交AC于点E，连接EF，判断四边形ABFE是什么特殊的四边形并说明理由。
这是道探究题，从条件分析。题目给了平行线和角平分线AF、BE，根据前面所学，可得到两个等腰三角形△ABE和△ABF，从而得到数量关系AB = AE，AB = BF，等量代换后AE = BF。观察图形，AE和BF恰好处在平行线AC和BD上，所以AE∥BF。根据一组对边平行且相等是平行四边形，可得平行四边形ABFE。