师：同学们好，今天我们进行初中数学总复习第三讲分式的内容。这节课我们要回顾分式的基本概念，理解分式的基本性质，掌握分式的基本运算，其中化简求值是复习的重点题型。下面请看知识点。
一、分式的基本概念
分式的定义：形如$\frac{a}{b}$，$A$、$B$是整式，$b$中含有字母的式子，称为分式。当分母$b$不为$0$时，分式有意义；当分子$a$等于$0$，且分母$b$不等于$0$时，分式值为$0$。
我们通过几道练习来巩固一下。
练习一：要使这个分式有意义，那么分母$x - 5$不能等于$0$，所以$x$不等于$5$。
练习二：要使这个分式无意义，那么分母$s^2 - 2 = 0$，所以$s^2 = 2$，最后计算得到$s = \pm\sqrt{2}$。
练习三：要使这个式子值为$0$，那么分子$\vert x \vert - 1 = 0$，分母$x + 1$不等于$0$，两个条件需同时满足，所以$x = 1$。同学们做题的时候一定不能忽略分母$b$不为$0$这个重要条件。
下面请看知识点。
二、分式的基本性质
分式的分子、分母乘或除以同一个不为$0$的整式$m$，分式值不变。
请看练习，下列式子正确的是。有同学选$C$吗？正确答案是$D$。为什么$C$不对呢？因为分子分母乘$x$这个字母时，必须要保证字母$x$不能为$0$，所以同学们做题的时候一定要关注$m$不等于$0$这个重要条件。
接下来看知识点，分式的基本运算。其实它的基本运算跟分数是一样的，分数能用的运算法则，分式运算也能用。我们重点回顾一下分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除数相乘，也就是化除为乘。分式的加减法，当遇到异分母分式相加减时，我们先通分变为同分母的分式再加减。
下面我们来复习乘除混合运算。请看练习第一题，我们应该先算哪一个呢？先算乘方，$(\frac{s}{2y})^2 = \frac{s^2}{4y^2}$。下面老师给出一个解答过程，同学们看一下对不对？这个计算里面它是先算了后面的乘法进行了约去$x^2$，可以吗？不可以，因为它违反了我们的运算顺序。在乘除混合运算里是同级运算，必须从左到右进行运算。
请看正确的解答：我们先将除化为乘，除以$\frac{3}{2x^2}$写成乘以$\frac{2}{3x^2}$。然后我们进行分子分母的约分，数字$2$和$4$同时约去最大公约数$2$，分母剩下$2$；相同的因式$x^2$直接约去；$y$与$y^2$约去一次项$y$，分母剩下$y$，这个时候分母得到的是$2 \times y \times 3 \times x^2$。所以最后的结果是$\frac{1}{6x^2y}$。同学们做乘除混合运算的时候，一定要注意运算顺序，先乘方再乘除，而且要划除为乘。
下面请看练习$5$第二题。这一题也是乘除混合运算，我们先化除为乘，发现分子有$25x^2 - 9$这个多项式，我们应该将它因式分解成$(5x + 3)(5x - 3)$，然后进行上下约分，约去公因式$5x + 3$和$5x - 3$。最后解答得$\frac{2}{3x^2}$。所以做乘除混合运算的时候，遇到分子分母是多项式的话，我们一定要记得因式分解。
下面我们来进行加减法的运算复习。请看练习$6$第一题。这两个分母互为相反数，我们可以通过提取负号将第二个分式的分母转化为$x - 1$，分母变成一样的$x - 1$，分子直接相减，变成$x - 1$，所以最后得到整式$1$。
请看练习$6$第二题。这个也是异分母的减法，它的分母还是多项式，那我们应该先将它因式分解。$a^2 - b^2$因式分解为$(a + b)(a - b)$。经过通分，减式的分子$1$要乘以$a - b$。下面老师给出一个解答过程，大家看一下对不对？发现问题了吗？在第二步分子写成$2a - a - b$行不行？因为在做减法时，减式的分子其实有一个隐形的括号保护着它，这里千万不能漏掉括号，这是同学们的易错点，一定要记住。
我们往下计算，分子经过去括号合并同类项，得到了$a + b$，这样可以了吗？我们发现分子分母还有公因式$a + b$，所以还要同时约去$a + b$这个公因式，约分要彻底，这样最后的结果才能得到是一个最简分式。所以我们做分式加减法，如果它们的分母是多项式的时候，应该先将分母因式分解，找到最简公分母进行通分，尤其做减法的时候，要注意隐形括号的存在，注意符号的变化，还要检查最后的运算结果是不是最简分式或整式。
下面我们来复习混合运算，请看练习。拿到题目的时候，我们可以先观察式子的结构，确定运算的顺序。那么这题有小括号，我们就先算小括号里面的减法。我们可以发现这两个分式的最简公分母为$(a + 1)(a - 1)$，被减式的分子$1$乘以$a + 1$，减式的分子$1$乘以$a - 1$，注意括号的存在。
然后第三个分式分子是$a^2 - 1$，我们可以也将它先因式分解为$(a + 1)(a - 1)$。下面进行第一个分式分子的计算，去括号合并同类项，最后得到$2$。这时我们可以上下同时约去公因式$a + 1$和$a - 1$，运算结果得到的是$\frac{2}{a}$。所以做加减乘除混合运算的时候，我们先观察式子的结构，确定运算的顺序。