师：同学们，今天我们学习锐角三角函数习题课。之前我们学习了解直角三角形、锐角三角函数，今天通过一系列习题，再次体会锐角三角函数。本节课学习目标是掌握锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，并能熟练应用解题。经历习题训练过程，在已有知识基础上自主探索，从理性上进一步掌握并运用锐角三角函数。通过知识回顾梳理，逐步培养良好的数学建构思想。学习重点是合理构建直角三角形，正确使用锐角三角函数解决实际问题。首先温故而知新，带着问题梳理前面所学知识。直角三角形中的边角关系有哪些呢？
生：直角三角形三边满足勾股定理，两锐角互余。在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，锐角 A 的正弦值 sinA = ∠A 的对边 / 斜边 = a / c，余弦值 cosA = ∠A 的邻边 / 斜边 = b / c，正切值 tanA = ∠A 的对边 / ∠A 的邻边 = a / b，这就是锐角 A 的三角函数。
师：很好。那直角三角形中为什么锐角 A 的正弦、余弦、正切是角 A 的锐角三角函数呢？
生：对于锐角 A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是角 A 的函数。同样，cosA、tanA 也是角 A 的函数，所以锐角 A 的正弦、余弦、正切是角 A 的锐角三角函数。
师：没错。那解直角三角形是指什么呢？解直角三角形需要具备什么条件？
生：一般在直角三角形中，除直角外共有 5 个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形。由直角三角形全等的判定定理可知，一个直角三角形可以由它的三条边和两个锐角这五个元素中的两个唯一确定，其中至少有一个边的元素。结合直角三角形两个锐角互余及勾股定理，就可以由 5 个元素中的两个元素的大小求出其他元素的大小。
师：非常棒。下面看习题。在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，AC = 12。要求锐角 A 的正弦值，该怎么做？
生：要求角 A 的正弦值，需要角 A 的对边 BC 和斜边 AB 的长，条件中只提供了对边 BC 和邻边 AC 的长。可以通过勾股定理由两直角边求出斜边 AB 的长，AB = √(52 + 122) = 13，于是得到角 A 的正弦值 sinA = BC / AB = 5 / 13 。
师：很好。看变式，在三角形 ABC 中，sinB = 1 / 3，tanC = 2，AB = 3 。要求 AC 的长，怎么思考？
生：为了充分利用角 B 的正弦值和角 C 的正切值，需要构造以角 B 或角 C 为内角的直角三角形。过 A 点作 AD⊥BC 于 D 点，这样就把三角形 ABC 分成了两个直角三角形，直角三角形 ABD 和直角三角形 ACD 。在直角三角形 ABD 中，已知斜边 AB = 3 和角 B 的正弦值 sinB = 1 / 3 ，可以求到角 B 的对边 AD = AB×sinB = 3×(1 / 3) = 1，AD 同时是直角三角形 ACD 的一条直角边。再结合角 C 的正切值 tanC = 2，因为 tanC = AD / CD ，所以 CD = AD / tanC = 1 / 2 。要求的 AC 是直角三角形 ACD 的斜边，结合勾股定理，AC = √(AD2 + CD2) = √(12 + (1 / 2)2) = √5 / 2 。
师：非常好。在这个问题中，构造了以角 B 或角 C 为一个内角的直角三角形，合理运用了条件中的 sinB 值和 tanC 值，关键之处在于 AD 是两个直角三角形的公共边，起了联系两个直角三角形的关键作用。那在实际问题中，常常会遇到测量楼房高度的问题。从与某建筑物 AB 相距 40 米的 P 处测得建筑物 AB 的顶部 A 仰角为 45°，要求建筑物 AB 的高度，怎么求？
生：在直角三角形 APB 中，已知∠APB = 45°，以及∠APB 的邻边 PB = 40 米，要求∠APB 的对边 AB ，可以利用角 APB 的正切值，tan∠APB = AB / PB ，因为 tan45° = 1 ，所以 AB = PB×tan45° = 40×1 = 40 米，建筑物 AB 的高为 40 米。
师：不错。看变式一，如图，从与某建筑物 AB 相距 30 米的 P 处有一个高 4 米的站台 PC ，在站台上测得建筑物 AB 顶部 A 的仰角为α，要求建筑物 AB 的高度，tanα = 6 / 5 ，怎么求？
生：AB 可以分成两部分，一部分是 BD ，已知等于 4 米，只要求出另一部分 AD 即可。AD 在直角三角形 ACD 中，直角三角形 ACD 已知 CD = 30 ，∠ACD = α ，可以通过 tan∠ACD 得到 AD 的长，AD = CD×tan∠ACD = 30×tanα = 30×(6 / 5) = 36 。从而 AB = AD + DB = 36 + 4 = 40 米，所以建筑物 AB 的高度为 40 米。
师：很棒。在这个问题中，关注了直角三角形 ACD ，并且选用了 tan∠ACD 求得线段 AD 的长，这是关键所在。下面看另外一个问题，建筑物 AB 上有广告牌 AC ，从与建筑物 AB 相距 40 米的 P 处观测广告牌顶部 C 仰角为α，观测广告牌底部 A 仰角为 45°，求广告牌 AC 的高度，tanα = 6 / 5 ，怎么思考？
生：要求广告牌 AC 的高度，可以通过求 CB 的高度和 AB 的高度它们的差得到。图形中包含两个直角三角形 APB 和直角三角形 PBC ，并且这两个直角三角形有公共的已知边 PB = 40 。在直角三角形 PAB 中，结合∠APB = 45°和 PB = 40 ，可以求到 AB 的长为 40 。在直角三角形 PBC 中，结合∠CPB = α ，PB = 40 ，因为 tanα = BC / PB ，所以 BC = PB×tanα = 40×(6 / 5) = 48 ，从而得到 AC = BC - AB = 48 - 40 = 8 米，所以广告牌 AC 的高度为 8 米。
师：很好。在这个问题中，关注了直角三角形 PAB 和直角三角形 PBC ，并且在这两个直角三角形中，PB 是它们的公共的直角边，CB 和 AB 是部分重叠的直角边，它们起了联系两个直角三角形的关键作用。再看另一个问题，从与某建筑物 AB 相距一段距离的 P 处有一个高为 6 米的站台 PC ，在站台上测得建筑物 AB 的顶部 A 仰角为 45°，在站台下 P 处测得建筑物顶部 A 仰角为α，求建筑物 AB 的高度，tanα = 6 / 5 ，怎么求？