师：同学们，大家好。今天我们一起学习解一元二次方程的公式法。先来看看今天的学习目标：一是理解求根公式的推导过程；二是利用判别式判断一元二次方程根的情况，并运用公式法解一元二次方程。本节课的学习重点是会用公式法解一元二次方程，学习难点则是理解求根公式的推导过程。
我们先回顾一下之前学过的知识，同学们还记得一元二次方程的一般形式吗？对，就是(Ax2 + Bx + C = 0)，这里要注意二次项系数(A\neq0)。之前我们已经学习过两种解一元二次方程的方法，直接开方法和配方法。现在请同学们拿出草稿本，用2分钟时间，用刚学过的配方法解一道题。
好，相信同学们都做完了。现在跟着老师一起批改配方法解方程的过程。第一步，移项，把常数项移到右边；第二步，二次项系数化为1，两边同时除以2；第三步，配方，配一次项系数一半的平方，这里两边同时加上((\frac{3}{4})2)。整理后，左边变成完全平方，即((x + \frac{3}{4})2)，右边合并同类项；第四步，开平方，注意开方有正负两种情况。最后写出方程的两个根，(X? = - \frac{1}{2})，(X? = - 1)。同学们，你算对了吗？解一元二次方程配方法有五个步骤，一移、二化、三配、四开、五定。
现在请同学们思考一个问题，我们能不能也用配方法解一元二次方程的一般形式呢？之前我们遇到的方程系数都是具体数字，而一般式的系数都是字母。不过没关系，我们可以把字母当成具体数字，按照配方法的步骤往下算一算。给同学们两分钟时间探究一下。
现在请同学们停笔，看着屏幕，跟着老师一起来解这个方程。配方法解方程，第一步移项，把常数项(C)移到等号右边，变为(-C)；第二步，二次项系数化一，这里二次项系数是(A)，因为(A\neq0)，所以两边同时除以(A)，得到(x2 + \frac{B}{A}x = - \frac{C}{A})；第三步，配方，配一次项系数一半的平方，这里一次项系数是(\frac{B}{A})，它的一半是(\frac{B}{2A})，所以两边同时加上((\frac{B}{2A})2)，整理后左边变成完全平方式((x + \frac{B}{2A})2)，右边合并同类项，注意通分的时候公分母是(4A2)。
第四步开平方，大家观察一下，等号右边是一个式子，能开平方吗？请同学们观察分母，因为(A\neq0)，所以分母(A2)必然大于(0)，那么(B2 - 4AC)作为分子就决定了整个等号右边式子的正负。请同学们思考一下，分子(B2 - 4AC)的值可以分成几种情况呢？对，有三种情况，可正、可负、可为零。
我们先看最简单的一种情况，当(B2 - 4AC < 0)的时候，等号右边的式子小于(0)。我们知道没有任何一个实数的平方是负数，所以此时方程无实数根。当(B2 - 4AC = 0)的时候，等号右边的式子等于(0)，我们可以得到方程有两个相等的实数根，(X? = X? = - \frac{B}{2A})。
最后我们一起算一算(B2 - 4AC > 0)的情况，此时等号右边的式子大于(0)。两边同时开平方，注意有正负。根据二次根式的运算法则，分子是(\sqrt{B2 - 4AC})，分母是(\sqrt{4A2})，分母可以化成(2|A|)。这里我们探讨一下如何去掉这个绝对值，当(A > 0)的时候，我们可以直接去掉绝对值，得到(\pm\frac{\sqrt{B2 - 4AC}}{2A})；当(A < 0)时，去掉绝对值前面要加负号，变成(\mp\frac{\sqrt{B2 - 4AC}}{2A})。观察一下，这两个结果是一样的，最后我们可以写成(\pm\frac{\sqrt{B2 - 4AC}}{2A})。然后移项合并同类项，这里是同分母相加减，分母不变，分子相加减。最后写出(X? = \frac{-B + \sqrt{B2 - 4AC}}{2A})，(X? = \frac{-B - \sqrt{B2 - 4AC}}{2A})。
我们把刚刚的三种情况梳理一下，当(B2 - 4AC > 0)时，方程有两个不等的实数根；当(B2 - 4AC = 0)时，方程有两个相等的实数根；当(B2 - 4AC < 0)时，方程无实数根。从总结中我们可以发现，(B2 - 4AC)对于一元二次方程根的情况起着关键性的作用。我们把(B2 - 4AC)叫做一元二次方程根的判别式，用希腊字母(\Delta)表示，即(\Delta = B2 - 4AC)。判别式可以判断根的情况，只要算出(B2 - 4AC)的值就好了。现在我们来当一回神算子，不解方程，判断下列方程根的情况。
第一个方程，代入(\Delta = B2 - 4AC)可以得到，(\Delta = - 7 < 0)。根据左边的表格我们可以知道此方程无实数根。第二个方程，用同样的方法把(\Delta)算出来，(\Delta = 0)，方程有两个相等的实数根。第三个方程，(\Delta = 9)，方程有两个不等的实数根。判别式的作用非常大，后面的课程还会继续深入学习。
我们为何要大费周折地用配方法解一元二次方程呢？那是因为一元二次方程的一般形式代表了所有的一元二次方程。通过探究可以发现，方程的根与系数(A)、(B)、(C)关系密切，只要我们把方程化成一般式，找到系数(A)、(B)、(C)的值，代入式子(\frac{-B \pm \sqrt{B2 - 4AC}}{2A})就可以得到方程的解，这样解方程非常方便。我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法，我们称为公式法。过程虽然曲折，但公式很美好。可能有同学觉得记这个公式太难了，大家先记(\Delta = B2 - 4AC)，再记(x = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A})就可以了。
利用公式法解一元二次方程，我们需要注意：一是方程必须是一般形式；二是判别式一定要大于等于(0)才能代入求根公式。学习了求根公式，我们肯定要活学活用。请同学们跟着老师一起用公式法解一解这个方程。第一步要确定方程是不是一般式，是的话，写出(A)、(B)、(C)的值，注意这里要带上符号，(B)是(-4)，(C)是(-7)。求(\Delta = B2 - 4AC)，算出来等于(44 > 0)，我们可以判断方程有两个不等的实数根，代入求根公式(\frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A})，每次代入先写公式，这可以帮助同学们快速记住公式。留意一下，这里的(-B)是(-(-4))，也就是(4)，化简一下等于(2 \pm \sqrt{11})，最后写出方程的两个根(X?)、(X?)的值。
同学们，公式法解方程记住这4个步骤，操作简单，代入便捷。我们梳理一下刚刚的四个步骤：第一，化成一般式，写(A)、(B)、(C)的值；第二，求判别式，(\Delta < 0)，无实数根；第三，当(\Delta \geq 0)时，代入求根公式；第四，写出(X?)、(X?)的值。同学们记住了吗？小试牛刀，请同学们根据例题的步骤用公式法解一解这个方程，给大家2分钟时间，之后我们一起对答案。这里方程是一般式，我们直接写出(A)、(B)、(C)的值，虽然(B)是无理数，但也是直接代入就好。算到(\Delta)的值等于(0)，方程有两个相等的实数根，代入求根公式得到(X? = X? = \frac{\sqrt{2}}{2})。这里温馨提示一下，一元二次方程如果有根，一定有两个，所以这道题一定要写成(X? = X? = \frac{\sqrt{2}}{2})，漏根是要扣分的。
现在请同学们当一回老师，批改一下这一道题，看解题过程是否正确。同学们，相信你们都很厉害，一下就发现解答过程是错误的，第一步就开始错。观察方程，它并不是一般形式，所以要化成一般形式才可以写(A)、(B)、(C)的值。现在我们一起把它改一改，方程先化成一般式(x2 - 4x + 5 = 0)。求到(\Delta)的值等于(-4 < 0)，方程没有实数根。同学们请记住了，用公式法一定要先化成一般式。
到我们大展身手的时候了，请同学们用3分钟时间把这个方程用公式法解一解。经过刚才的火眼金睛环节，相信同学们一定不会掉陷阱了。这个方程不是一般式，所以先化成一般式，变成(5x2 - 4x - 1 = 0)，再求(\Delta = 36 > 0)，方程有两个不等的实数根，代入求根公式可以得到(X? = 1)，(X? = - \frac{1}{5})。同学们，你算对了吗？如果没有，继续加油再算一遍。
现在我们对本节课所学的知识进行总结，今天我们回顾了配方法，通过类比从特殊到一般的思想，将一元二次方程一般式用配方法求解，找到了一种新的解一元二次方程的方法——公式法。解方程有四个步骤，一化、二求、三带、四写。注意用公式法一定要化成一般式，确定(A)、(B)、(C)的值的时候注意带上符号。求(\Delta)的值是至关重要的一步，如果(\Delta < 0)，方程无实数根；只有(\Delta \geq 0)，才可以代入求根公式，最后写出(X?)、(X?)的值。运用公式法解方程过程中，判别式功不可没。在研究判别式的时候，我们利用了分类讨论思想，当(\Delta > 0)时，方程有两个不等实数根；当(\Delta = 0)时，方程有两个相等实数根；当(\Delta < 0)时，方程无实数根。判别式在后续的学习中也地位非凡。今天整节课的学习重点就是会用公式法解方程，请同学们课后做好巩固练习，掌握这个解一元二次方程的万能方法。今天的课堂到此结束，谢谢同学们的观看，再见。