师：同学们好，今天我们一起学习人教版八年级下册第十八章平行四边形的小专题复习。首先来看学习目标：一是根据平行四边形给定的三个顶点坐标，求第四个顶点的坐标；二是会灵活运用平行四边形和平移的性质求点的坐标，感受图形变换中点的坐标之间的数量关系。学习了平行四边形的性质和判定后，我们尝试把平行四边形放在平面直角坐标系中，看看求点坐标会有什么新发现。
先来复习点的坐标。如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 OACB 的顶点 O 在原点，A、B 分别在坐标轴正半轴上，且 OA = 2，OB = 4，那么点 C 的坐标是多少呢？根据坐标定义，点 C 的横坐标为 2，纵坐标为 4。通过这个问题，要明确确定一个点的坐标就是确定它的横纵坐标，这与矩形边长，也就是线段 OA 和 OB 的长度有关。同时，点 C 也可由点 O 平移得到。在平面直角坐标系中，点的平移一般是横平竖直的方向，即点 O 先向右平移 OA 的长度，也就是 2 个单位长度，再向上平移 OB 的长度，即 4 个单位长度就得到点 C。
在平面直角坐标系中，两个点都能通过平移体现关联。比如点 B 平移至点 A，点 B 可以通过向下平移 4 个单位，再向右平移 2 个单位得到 A。在平移过程中，水平线段 OA 的长度叫水平距离，竖直线段 BO 的长度叫平移的垂直距离。
现在把矩形变成平行四边形。如图，平行四边形 OABC 顶点 O 在坐标原点，A 的横坐标为 5，纵坐标为 0，C 的横坐标为 2，纵坐标为 3，求点 B 的坐标。由平行四边形 OABC 可知，BC 平行于 OA，也就是平行于 x 轴，所以 B 点和 C 点纵坐标相同都为 3。如何求点 B 的横坐标呢？通常经过 B 点作 BF 垂直 x 轴于点 F，由 OF = OA + AF 来求。因为 A 的横坐标为 5，所以 OA = 5。怎么求 AF 呢？由于 C 横坐标为 2，纵坐标为 3，经过 C 点作 CE 垂直于 x 轴于 E 点，由平行四边形一组对边平行且相等，可得三角形 COE 全等于三角形 BAF，从而 OE = AF = 2。所以 OF = OA + AF = 5 + 2 = 7，那么 B 的横坐标为 7，纵坐标为 3。同时，当经过 B 点和 C 点作两条垂线段后，OF 的长度也可用 OE + EF 求得。
还有其他求法吗？我们知道平行四边形中 BC 平行于 OA，且 BC = OA = 5。由此可以把 B 看作是由点 C 向右平移 5 个单位所得，向右平移 5 个单位，即横坐标增加 5，这样也能得到 B 的坐标。
来小结一下，已知平行四边形的三个顶点坐标求第四个顶点坐标，通常会经过平行四边形的顶点向坐标轴作垂直，把斜线段转化为直线段，在平面直角坐标系中化斜为直是常用解题策略。同时，因为平行四边形对边平行且相等，常构造出全等的直角三角形。由平行四边形一组对边平行且相等的图形特征，也可采用平移方法求顶点坐标。
下面继续求平行四边形的顶点坐标。如图，平行四边形 OABC 顶点 O 在原点，A 的横坐标为 4，纵坐标为 1，C 的横坐标为 1，纵坐标为 3，求点 B 的坐标。从图中看，求点 B 的坐标就是求线段 OE 和 BE 的长。观察图形，OE 的长度等于 OF + EF，其中 OF 等于 OA 的横坐标，EF 待求。又怎么求 BE 呢？由平行四边形对边平行且相等，从 A 点作 AN 垂直 BE 于 N 点，构造出三角形 BAN 与三角形 COM 全等。此时 BE = BN + NE，其中 NE = AF = 1，BN 待求。利用这对全等三角形，可得 AN = OM = 1，BN = CM = 3。从而求得 OE 和 BE 的长度，得到 B 点坐标。
梳理一下求解过程：首先证明三角形 BAN 全等于三角形 COM 得到线段相等，根据已知点的坐标求得 OE 和 BE，进而得 B 的横坐标为 5，纵坐标为 4。这里三角形全等的证明，请同学们自行完成，证明这对三角形全等有一定挑战性。老师提示，利用平行四边形对边平行，通过延长 CB 构造同位角相等，再利用角的和差得到所需等角，同学们课后自己完成。
选择 OC、AB 构建了全等三角形，如果选择另一组对边 OA、CB 构造直角三角形，同样能求解。因为平行四边形两组对边平行且相等，符合平移特征，所以可把平行四边形看作是两个点或一条线段平移的结果，即 O 平移至 C，同时 A 平移至 B，于是由平移距离相等得到它们平移的水平距离相等，AN = OM，垂直距离也相等，BN = CM。用点的坐标表示平移距离，可得 XB - XA = XC - 0，这个等式表示 AN = OM，Yb - Ya = Yc - 0，表示垂直距离相等。同理，如果 O 平移至 A，相应的 C 则平移至 B，也有 XB - XC = XA - 0，Yb - Yc = Ya - 0。这个关系式很好地反映了点在平移过程中坐标之间的数量关系。同时，未知点的坐标还可通过两个已知点的平移规则求得。比如由已知点 O 平移得 C，观察坐标特征得出平移规则，O 向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位得到 C 点，那么 A 也如此平移得到 B 的坐标。当然也可以 O 先平移至 A，由坐标得出平移规则，O 向右平移 4 个单位，向上平移 1 个单位得 A，同样 C 也如此平移得到 B。由此可见，图形的平移实质上可转化为点的坐标平移。