师：同学们，大家好。今天很高兴和同学们一起学习人教版八年级下册第16章16.2第三课二次根式的除法。首先我们来明确本节课的学习目标：一、了解二次根式的除法法则；二、会用二次根式的除法法则进行简单的运算；三、了解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
下面我们来看这样一个问题：如图，长方形的面积(S)等于(\sqrt{24})，长为(a)，宽为(b)。第一问，若(a = 3)，则(b)等于多少？我们知道长方形的面积等于长乘宽，所以所求的宽等于面积除以长，也就是(b = \sqrt{24}÷3)。当然，这个除法可以写成分数的形式，等于(\frac{\sqrt{24}}{3})。第二问，若(b = \sqrt{3})，则(a)等于多少？同理，长方形的长等于面积除以宽，也就是(a = \sqrt{24}÷\sqrt{3})。同样也可以写成分数的形式，等于(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}})。
好，这个时候请同学们想一想，下面的列式是什么运算？我们发现这个除法运算里面含有二次根式，如(\sqrt{24})、(\sqrt{3})，因此我们把这种运算叫做二次根式的除法。那么对于刚刚我们得到的两个结果，能进一步进行计算化简吗？其实这两个我们都可以看成两个二次根式相除，第一个是(\sqrt{24}÷\sqrt{9})，第二个是(\sqrt{24}÷\sqrt{3})。那么接下来我们将从两个特殊的二次根式相除来研究二次根式的除法。请看问题2。用所学过的知识算出下面式子的结果。
我们先看左边这一列第一个(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}})。我们知道分子(\sqrt{4})表示(4)的算术平方根，可以直接开方得(2)；而分母(\sqrt{9})表示(9)的算术平方根，也可以直接开方得(3)，那么(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}})最后结果就等于(\frac{2}{3})。第二小题同理，分子分母也可以直接开方得结果等于(\frac{4}{5})。第三个也一样，分子分母也可以直接开方得结果等于(\frac{6}{7})。
接着我们来看右边这一列，第一个(\sqrt{\frac{4}{9}})表示(\frac{4}{9})的算术平方根，也可以直接开方，得结果等于(\frac{2}{3})；第二个表示(\frac{16}{25})的算术平方根，也可以直接开方，得结果等于(\frac{4}{5})；最后一个同样道理，它表示(\frac{36}{49})的算术平方根，也可以直接开方得结果等于(\frac{6}{7})。
好了，这个时候请同学们观察打横的三个组计算，它们有什么联系与区别呢？我们可以很快地发现，同一行的两个小题，它们的运算结果是相同的，也就是说它们在运算之前的两个式子应该是相等的。比如说我们就可以得到(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}})，以此类推可以得到三个等式。但是它们也是有区别的，我们来看左边这一列，它表示的是两个二次根式相除，比如说第一个表示(\sqrt{4}÷\sqrt{9})，而右边这一列表示的是一个数的算术平方根，但是它们的结果却是相等的。那么同学们，你能用字母来表示我们刚刚发现的这个规律吗？有了乘法法则的学习，我们知道可以用字母来表示数，那么等号的左边是(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})，而等号的右边是(\sqrt{\frac{a}{b}})，这样的归纳方法体现的是从特殊到一般的数学思想方法。接着请同学们思考，用字母来表示数之后，这两个字母(a)、(b)，它的取值范围有限制吗？我们知道二次根式的被开方数是非负数，但(\sqrt{b})在分母，当(b = 0)时，分母等于(0)无意义，因此这个被开方数(a)可以大于等于(0)，而(b)只能大于(0)。这就是我们今天这节课要重点学习的二次根式的除法法则：(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}})（(a\geq0)，(b > 0)）。通过这个法则，我们发现两个二次根式相除是等于这两个被开方数先相除，然后再求它的算术平方根。那么接下来请同学们运用这个法则来计算下面两个小题。
首先我们来看第一小题，这是我们在引入时长方形的面积(\sqrt{24})除以它的宽(\sqrt{3})，那这个时候你能对它进行计算了吗？同学们可以很快地发现，它就可以利用我们刚刚学的除法法则，两个二次根式相除，就等于这两个被开方数先相除，然后再求它的算术平方根，那就等于(\sqrt{\frac{24}{3}})，接着被开方数约分就等于(\sqrt{8})。这时候同学们想想，这(\sqrt{8})能作为最后结果吗？诶，发现它还要化简，原因是这个被开方数(8)还含有开得尽方的因数(4)，因此要进一步化简，得最后结果等于(2\sqrt{2})。
接着我们来看第二小题，发现这个第二小题要比第一小题复杂一些，原因是这两个被开方数都是分数，但是法则都是一样的，两个二次根式相除，那就等于这两个被开方数先相除，也就是(\frac{3}{2})先除以(\frac{1}{18})，再求它的算术平方根。根号里面除以(\frac{1}{18})，那就等于乘以它的倒数(18)，接着约分等于(\sqrt{3×9})，很快这个(9)也可以开方出来，那就等于(3\sqrt{3})。
好了，这个时候同学们对二次根式的除法计算有了一定了解了，接下来你能灵活运用这个除法法则来解决新的问题吗？我们请看问题6，下面的二次根式能化简吗？化简的依据是什么呢？来看第一小题，(\sqrt{\frac{3}{100}})。有同学想到这个(\sqrt{\frac{3}{100}})可以利用我们刚刚学的除法法则把它拆分成两个二次根式相除，也就是(\sqrt{\frac{3}{100}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}})，而这个时候分母(\sqrt{100})可以直接开方得到(\frac{\sqrt{3}}{10})，这就实现了化简的目的。我们知道除法法则两个二次根式相除可以变成一个二次根式，而现在反过来，一个二次根式可以拆分成两个二次根式相除，也就是反用这个法则，我们可对二次根式进行化简。类似的我们来看第二小题，诶，很多同学马上就想到把这个(\sqrt{\frac{75}{27}})拆分成两个二次根式相除，那就等于(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{27}})，接着分子分母分别化简等于(\frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{3}})，然后约分就得到最后的结果等于(\frac{5}{3})。那么这个时候请同学们再想想有没有其他的处理方法。
观察发现这个被开方数分子分母含有公因数(3)，因此我们可以对它先进行约分，那就等于(\sqrt{\frac{25}{9}})，然后再拆分成(\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}})再开方，就可以得到最后结果等于(\frac{5}{3})。当然有同学说，其实这个(\sqrt{\frac{25}{9}})可以不拆分成两个二次根式相除，直接利用我们算术平方根的性质或者二次根式的性质，也可以直接开方得结果等于(\frac{5}{3})。也就是我们第二小题的化简可以用不同的方法，但是对比这三种方法，我们发现当这个被开方数可以简化的时候，我们化简过后再进一步的处理就会更加的简单一些。