师：同学们，大家好。今天我们一起来学习人教版九年级数学第24章第五课时圆周角习题课。首先，我们来看本节课的学习目标。第一，通过知识回顾，进一步掌握圆周角定理及其推论的应用。第二，会运用直径所对的圆周角是直角，以及90度的圆周角所对的弦是直径这两个推论的性质，体会转化的思想。本节课的学习重点是运用圆周角定理及其推论解决弦角的计算问题。接下来，我们进入课程回顾。
上一节课我们学习了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。如图，在圆O中，∠C = 1/2∠AOB。我们还学习了它的推论：同弧所对的圆周角相等。如图，在圆O中，∠C = ∠D。另外还有两条推论：一、半圆或直径所对的圆周角是直角。如图，在圆O中，若AB是直径，则∠ACB = 90度。二、90度的圆周角所对的弦是直径。如图，在圆O中，若∠ACB = 90度，则AB是直径。下面我们先来做3个小题，回顾学过的知识，为今天的课做好铺垫。
第一题，如图，点A、B、C均在圆O上，若∠AOC = 80度，则∠ABC的大小是什么？给大家20秒思考一下。这道题很简单，运用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半这个知识就能做出来，答案选C。
第二题，如图，BD是圆O的直径，∠CBD = 45度，则∠A的度数是多少呢？这道题比第一道题难一点，同学们挑战一下，在30秒内完成思考。好，时间到。这道题用到同弧所对的圆周角相等的知识。已知BD是圆O的直径，那么∠BCD = 90度。又因为题目给出∠CBD = 45度，所以可以推出∠D = 45度。而∠A与∠D是弧BC所对的圆周角，所以∠A = ∠D = 45度，答案选B。本题解题的关键是找出与∠A同弧所对的圆周角∠D。
我们再来看第3题。如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠ABC = 110度，则∠ADE等于多少呢？同学们，这道题运用了很多之前学过的圆的相关知识，请大家开动脑筋，找找它们之间的关系，老师给大家30秒独立思考时间。嗯，时间到了，有同学很快就理清它们的关系，选择了D。这个答案没错，其实我们是先根据圆的内接四边形对角互补及邻补角互补得到∠ADC + ∠B = 180度，∠ADC + ∠ADE = 180度。然后再根据同角的补角相等得出∠ADE = ∠B = 110度，最后得出答案是D。
同学们，刚才我们用3条练习热身，接下来我们共同完成一道非常典型的例题。
例一，已知如图所示，圆O的直径AB为10CM，弦AC为6CM，∠ACB的平分线交圆于点D。求BC、AD、BD的长。这道题条件不少，同学们可以把一些条件标到图上，然后找它们的联系，老师给一分钟大家独立思考。时间到了，表扬已经理清关系的同学，还没找到关系的同学也不要紧，跟老师一起分析。现在我们从题目条件开始分析，由直径AB这个条件，我们可以知道△ABC和△ABD是直角三角形。已知AB = 10CM，AC = 6CM，利用勾股定理可以求出BC。因为CD平分∠ACB，我们可以考虑连接OD，得到圆周角∠AOD = ∠BOD，进而判断出△ADB是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AD、BD。
同学们，这就是我们的思路分析图，你听懂了吗？下面是完整的解答，请同学留意书写过程。
解：如图，连接OD，因为AB是直径，所以∠ACB = ∠ADB = 90度。在Rt△ABC中，BC = √(AB2 - AC2) = √(102 - 62) = 8cm。因为CD平分∠ACB，所以∠ACD = ∠BCD，又所以∠AOD = ∠BOD，则AD = BD。又在Rt△ABD中，AD2 + BD2 = AB2，最后AD = 5√2CM。
下面我们来看一道中考题，我对它进行了一定的改编，改编自2019年广州市中考的第23题。我们来看题目，如图所示，圆O的直径AB = 10CM，弦AC = 8CM。连接BC，在劣弧AC上取点D，使得CD = BC，再连接AD，求四边形ABCD的周长。题目求四边形ABCD的周长，已知AB = 10，AC = 8，根据勾股定理可知，BC = CD = 6。剩下的任务就是求AD了。因为已知AB是直径，所以我们考虑连接BD。如果BD求出来了，再利用勾股定理求出AD，问题就解决了。那如何求BD呢？BD所在的△BCD不是直角三角形，所以不能直接求出。但我们知道弦BC = 弦CD，不难发现C是弧BD的中点，所以当我们连接OC，根据垂径定理的推论，我们就可以得到OC垂直BD于E，再加上BO = OA，我们就可以知道OE是△BAD的中位线，也就是AD = 2OE。这样一来，我们本要求BD的，现在就转化成求OE，那OE又怎么求呢？这时候我们发现求OE的条件不足，所以要借助方程去求。
我们设OE = x，则CE = 5 - x，BE是Rt△BEC和Rt△BEO的公共直角边，所以BE2 = BC2 - EC2，也等于OB2 - OE2。即62 - (5 - x)2 = 52 - x2。求出方程的解后，就可以轻松求出四边形ABCD的周长了。好，这是我们的分析过程，下面是详细的解答过程，在这里面一定要注意解题的细节。