师：同学们好，我们今天一起学习第十三章线段的垂直平分线的性质第一课时。本节课学习目标是掌握线段垂直平分线的性质，并能灵活运用其解决有关轴对称的几何问题。学习重点是应用该性质解决有关轴对称知识的几何综合问题。下面进入温故知新环节。首先回顾线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。这里要注意两个关键要素，一是直线经过线段中点，二是直线垂直于这条线段。接下来进入探究内容。
（展示图形）如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1、P2、P3 是 l 上的点。请同学们分别量一量点 P1、P2、P3 到点 A 与点 B 的距离，看看有什么发现。先暂停一下，翻开教材第 61 页，结合 PPT 内容，完成教材上的探究学习，并将结论写在练习本上。
相信同学们都得出结论了。现在看屏幕左边的动画，经过翻折操作，我们发现 P1A 与 P1B、P2A 与 P2B、P3A 与 P3B 完全重合，由此可得：P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B。我们进一步猜想，直线 l 上有无数个点，其他点到点 A 和点 B 的距离是否也相等呢？请同学们在练习本上画图思考。我们给出猜想：在线段垂直平分线上的点与线段的两个端点距离相等。将这个猜想改写成命题形式：如果直线 l 垂直平分线段 AB，点 P 为直线 l 上任意一点，则 PA = PB。要证明这个猜想正确，需证明该命题是真命题。回顾一下，之前我们是用严格的几何推理证明来验证命题，这次也用同样方法。
先把命题改写成已知求证的形式：已知直线 l 垂直平分线段 AB，点 P 为直线 l 上任意一点，求证 PA = PB。同学们思考一下，用什么方法证明两条线段相等呢？根据题目条件，利用全等三角形对应边相等的性质来证明 PA = PB 最为直接。下面看证明过程：因为直线 l 垂直平分线段 AB，所以∠PCA = ∠PCB = 90°，AC = BC。在△ACP 和△BCP 中，AC = BC，∠ACP = ∠BCP，PC 为公共边，即 PC = PC。根据边角边判定方法，可证明△ACP ≌ △BCP。再由全等三角形对应边相等，得出 PA = PB，这样命题就成为真命题了。
根据上述猜想和证明，我们得到结论：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。用符号语言描述为：因为 P 为线段 AB 垂直平分线 l 上一点，所以 PA = PB。请同学们好好体会这个证明过程，这就是我们今天要学的线段垂直平分线的性质之一。下面通过一道习题来看看如何应用这个性质解题。
（展示题目图形）如图，AD 垂直 BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，那么 AB、AC、CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？请同学们翻开教材第 62 页，阅读练习第一题，把解答过程写在练习本上，之后我们一起看解题过程。
解：因为直线 AD 垂直 BC，BD = DC，根据线段垂直平分线的定义，AD 是线段 BC 的垂直平分线。由线段垂直平分线的性质可得 AB = AC。又因为点 C 在 AE 的垂直平分线上，同理可得 AC = CE。所以 AB、AC、CE 三者相等。通过等量代换，用 CE 代换 AB，用 DC 代换 BD，可得 AB + BD = CE + DC。从图中可知 CE 和 DC 共线，所以 CE + DC = DE，即 AB + BD = DE。
同学们都做对了吗？接下来思考：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗？和刚才学习类似，先对这个问题进行猜想：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。看屏幕右下方动画，发现点 P 在运动过程中始终保持 PA = PB，由于点动成线，点 P 的轨迹是一条直线，我们要证明这条直线是线段 AB 的垂直平分线。把猜想改写成命题形式：如果 PA = PB，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。