师：同学们，大家好。今天我们来学习二次函数(y = ax2 + bx + c)图像与系数的关系。本课的学习目标是了解二次函数(y = ax2 + bx + c)系数(a)、(b)、(c)对函数图像的影响，能根据系数(a)、(b)、(c)的符号画出二次函数的大致图像，并根据图像判断(a)、(b)、(c)的符号。通过观察二次函数数形相互制约的效果，体会数形结合在函数学习中的重要性。
师：我们先来知识回顾。二次函数的一般式为(y = ax2 + bx + c)，(a ≠ 0)，它的图像是一条抛物线。有人说(a)、(b)、(c)就像是二次函数的“DNA”一样，决定着它的图像抛物线的形状及位置等性质。下面我们通过动态图直观感受一下。接下来老师将改变系数(a)、(b)、(c)的取值，请同学们注意观察。改变(a)的值，当(a > 0)，(a < 0)时，可发现抛物线的开口方向、大小和对称轴、顶点坐标的位置均随(a)值的变化而变化；改变(b)的值，当(b > 0)，(b = 0)，(b < 0)时，抛物线仅仅是位置发生变化，说明(b)对对称轴、顶点坐标产生影响；改变(c)的值，当(c > 0)，(c = 0)，(c < 0)时，抛物线只是上下移动，说明(c)对顶点坐标有影响。以上变化我们也可从二次函数的图像性质中找到答案。在二次函数的图像性质中，(a)的影响最大，开口方向、对称轴、顶点坐标均有它的“身影”；(b)则参与了对称轴、顶点坐标公式；(c)对顶点坐标有影响。那除了利用(a)、(b)、(c)的值代入计算外，能否提炼出简单一些的技巧，例如只运用(a)、(b)、(c)的符号来解决某些问题呢？这就是我们这节课需要探讨的内容——二次函数各项系数(a)、(b)、(c)符号与图像的关系。
师：我们已经知道，(a)的符号决定抛物线的开口方向，(a > 0)时开口向上，(a < 0)时开口向下。那除了开口方向，同学们还想到什么？对，对称轴。对称轴是(x = - \frac{b}{2a})，(a)、(b)的值直接决定着对称轴的位置。那如果只看(a)、(b)的符号，还能否判断对称轴的位置呢？可以的，我们分三种情况来讨论。
师：当(a)、(b)同号时，(\frac{b}{2a} > 0)，即(x = - \frac{b}{2a} < 0)，此时对称轴在(y)轴左侧；当(a)、(b)异号时，(\frac{b}{2a} < 0)，即(x = - \frac{b}{2a} > 0)，对称轴在(y)轴右侧；还有一种情况，就是(b = 0)时，(x = - \frac{b}{2a} = 0)，对称轴是(y)轴。
师：我们来看看实际的图像。当(a)、(b)都大于(0)（同号）时，对称轴在(y)轴左侧，改变(b)的值，只要(b)持续大于(0)，(a)、(b)同号，对称轴就一直在(y)轴左侧；当(b = 0)时，对称轴变为(y)轴；当(b < 0)，(a)、(b)异号时，对称轴在(y)轴右侧。再来看(a < 0)的情况，(a)、(b)同为负（同号）时，对称轴在(y)轴左侧，改变(b)的值，当(b = 0)，对称轴是(y)轴，当(a)、(b)异号时，对称轴就在(y)轴的右侧了。综合起来，(a)、(b)的符号共同决定着对称轴的位置。给大家一个简单易记的口诀：“左同右异，中为(0)”。这里的“左右”指的是对称轴在(y)轴的左侧或右侧时，所对应的(a)、(b)同号或异号；“中为(0)”指的是对称轴是(y)轴时，(b = 0)。
师：我们再来研究(c)符号。(c)对顶点坐标有影响，而且是(a)、(b)、(c)共同决定着顶点坐标，但是要通过(a)、(b)、(c)符号来判断顶点的位置比较复杂，有些情况还无法得出结论，怎么办呢？抛物线上还有一个特殊的点，它是抛物线与(y)轴的交点(C)。改变系数(c)取值可发现点(C)随着(c)值的变化而上下移动，当(c > 0)，点(C)在(y)轴正半轴；当(c = 0)，点(C)是原点；当(c < 0)，点(C)在(y)轴负半轴。固定(c)值不变，改变(a)、(b)的值，可看到点(C)固定不动了，抛物线始终经过点(C)。再来看(c = 0)的情况，改变(a)、(b)的值，抛物线始终经过原点。从图像可得系数(c)符号决定了抛物线与(y)轴交点的位置，我们也可以通过求图像与(y)轴的交点坐标来说明问题。当(x = 0)时，代入一般式得(y = 0 + 0 + c = c)，所以抛物线与(y)轴交点是((0, c))，因此(c)符号决定抛物线与(y)轴交点的位置，(c > 0)时，抛物线与(y)轴交于正半轴；(c = 0)时，抛物线经过原点；(c < 0)时，抛物线与(y)轴交于负半轴。
师：那么通过系数(a)、(b)、(c)符号与图像的关系，我们能否画出二次函数的大致图像呢？请同学们按下暂停键，尝试完成下面的练习。
（过一会儿）
师：画好了吗？你们的答案是这样吗？还是这样呢？这三个草图均满足题目条件：(a > 0)，开口向上；(a)、(b)同号，对称轴在(y)轴左侧；(c > 0)，抛物线与(y)轴交于正半轴。看来要唯一确定抛物线的草图还需要增加条件。那这三个图像的区别是什么呢？对，抛物线与(x)轴交点的个数分别是两个、一个、(0)个。抛物线与(x)轴的交点可以通过以下方式计算。当(y = 0)时，代入一般式得(ax2 + bx + c = 0)，这是一个一元二次方程。一元二次方程的解可以转化为抛物线与(x)轴交点的坐标。这样我们可根据一元二次方程解的个数，得到相应的图像与(x)轴交点的个数。有没有更简单的方法，不解方程即可得出结论呢？有，一元二次方程根的判别式。我们通过判别式(\Delta = b2 - 4ac)的符号可以得到一元二次方程根的情况，从而得到抛物线与(x)轴交点的个数。这也是一个从数到形转化的过程。现在同学们可以画出二次函数的草图了吗？请同学们按下暂停键尝试一下。
（过一会儿）
师：正确答案是这样的。用一个表格梳理一下系数(a)、(b)、(c)符号与二次函数图像的关系：(a)的符号决定抛物线的开口方向；(a)、(b)的符号共同决定抛物线对称轴的位置，“左同右异中为(0)”的口诀要记住；(c)符号决定抛物线与(y)轴交点的位置；(\Delta = b2 - 4ac)的符号决定抛物线与(x)轴交点的个数。这样一来，我们就可以通过一般式中(a)、(b)、(c)符号大致地画出二次函数的图像，完成从数到形的转换。反之，我们也可以通过图像判断(a)、(b)、(c)符号，由形定数。以上关系可以解决哪方面的问题呢？请看练习。
师：第一题，根据图像试确定下列各式的符号。抛物线开口向上，所以(a > 0)；对称轴在(y)轴的右侧，(a)、(b)异号，所以(b < 0)；抛物线与(y)轴交于正半轴，所以(c > 0)；抛物线与(x)轴有两个交点，所以(b2 - 4ac > 0)。
师：第二题，抛物线开口向下，所以(a < 0)；对称轴是(y)轴，所以(b = 0)；抛物线经过原点，所以(c = 0)；抛物线与(x)轴只有一个交点，所以(b2 - 4ac = 0)。
师：第三题，对称轴在(y)轴右侧，(a)、(b)异号，(\frac{b}{a})的值为负；抛物线与(y)轴交于负半轴，(c)值为负，该点在第三象限。这三道题通过图像判断系数(a)、(b)、(c)符号，由形定数。
师：第(4)题，(a > 0)，抛物线开口向上，排除(A)选项；(a)、(b)同号，对称轴在(y)轴左侧，排除(B)选项；(c < 0)，抛物线与(y)轴交于负半轴，排除(D)选项。正确答案是(C)。这道题，我们通过题目给的系数(a)、(b)、(c)符号得出二次函数的大致图像，由数定形。
师：第(5)题，这是一道一次函数与二次函数相结合的题目。根据题目条件，我们可以画出一次函数的草图，根据图像得出(a < 0)，(b < 0)。我们再来看四个选项，对于二次函数来说，(a < 0)，抛物线开口向下，排除(A)、(B)两个选项；(a)、(b)同号，对称轴在(y)轴左侧，排除(D)选项。通过这道题，我们可以体会从形定数再由数定型的数学思想。
师：第(6)题，这也是一道一次函数与二次函数相结合的题目。根据题目条件，一次函数与二次函数的解析式中均含有(a)、(c)，那它们所在的位置分别与函数图像有什么关系呢？我们来看(A)选项，从抛物线的开口方向和与(y)轴交点的位置可得(a < 0)，(c > 0)；从直线所经过的象限可得(a > 0)，(c < 0)，(a)、(c)取值矛盾，(A)选项错误。同样的方法观察(B)、(C)、(D)选项，(B)选项(c)取值矛盾错误，(D)选项(a)的取值矛盾错误。正确答案是(C)选项。
师：这节课我们探讨了二次函数各项系数的符号与图像的关系，既通过系数(a)、(b)、(c)符号画出二次函数的大致图像，也能通过图像判断系数(a)、(b)、(c)符号，既提炼了简单的解题技巧，同学们也能从中体会到数形结合的数学思想。
师：课堂到此结束，感谢大家的观看，再见。