师：同学们，大家好。今天我们来学习正多边形和圆。先看本节课的学习目标：一、理解正多边形和圆的关系，会画圆内接正多边形；二、理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，并学会相关的计算。本节课的学习重点是正多边形的有关计算。现在，就让我们开启本节课的学习之旅。
首先，请大家观察这4幅图片，能看到正多边形吗？从图中，我们可以看到正六边形、正八边形、正方形、正三角形，还有正十二边形。像这样各条边相等，各内角也相等的多边形，叫做正多边形。我们知道正三角形有外接圆，其实正四边形、正五边形、正六边形以及正n边形也都有外接圆。我们把经过一个多边形各个顶点的圆，叫做这个正多边形的外接圆，这个多边形叫做圆内接正多边形。因为正多边形的各条边都相等，所以在圆中它们所对的弧也都相等。也就是说，圆内接正n边形的各个顶点把圆分成了n等份。
接下来，我们继续学习一些概念。
一、中心：正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心，如点O。
二、半径：外接圆的半径也叫正多边形的半径，我们通常用大写R来表示。
三、边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距，我们通常用小写r来表示。
四、中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形有n个中心角，所以每个中心角的度数就是360度除以n。结合以前学过的知识，正n边形的每一个外角也都等于360度除以n，所以正多边形的每一个中心角和每一个外角是相等的，都为360度除以n。
学习完这些概念后，请大家看例题一。已知圆O，用直尺和圆规作出圆O的内接正六边形。根据刚刚学习的知识，要做这个圆的内接正六边形，就是要把这个圆分成六等份。怎么分呢？我们先在这个圆上取一条弦AB。假设AB就是这个正六边形的一条边长，连接OA和OB。那么角AOB就是这个正六边形的中心角，它的度数为360度除以6，等于60度。又因为OA等于OB，所以三角形OAB是一个等边三角形。那么AB的长就等于圆的半径。知道了正六边形的边长，就不难做出这个圆内接正六边形了。下面来看具体的做法：
一、在圆O上任意取一点A，从点A开始，以圆O的半径为半径，在圆O上依次截取B、C、D、E、F。
二、依次连接AB、BC、CD、DE、EF和FA。那么所得到的六边形就是我们所要求作的圆内接正六边形。
我们来总结一下如何画出圆内接正多边形。可以通过等分圆心角的方法来画正多边形，也就是通过做相等的圆心角的方式等分圆周，从而得到相应的正多边形。大家可以尝试用这种方法画出正五边形。首先求出正五边形的中心角为360度除以5，等于72度。然后将圆心角分成5份，每份72度，找到圆周上对应的5个点并连接，这样就可以画出正五边形了。
接下来再看例题二，分别求出半径为R的圆，内接正三角形的边长、边心距和面积。我们先来分析题目中的已知条件。题目已知一个半径为R的圆，以及它的内接正三角形。画出图形，在这里点O是外接圆的圆心，也是正三角形的中心。那么过点A作BC边上的高AD，这个AD必然会经过点O。所以BD等于CD。我们再连接OB，那么OB就是半径R。因为O是中心，所以在直角三角形OBD中，角OBD等于30度。从而可以求出OD为二分之一R，再根据勾股定理就可以求出BD为二分之根号3R，所以边长BC为根号3R。
这样我们就把边长和边心距求出来了，那么三角形ABC的面积怎么求呢？根据三角形的面积公式为底乘以高除以2，这里的底已经求出来了，而高是由AO和OD两个部分构成，加起来等于二分之三R，再带入三角形的面积公式就可以求解了。
现在请大家再思考一下，这个正三角形的面积还有别的求解方法吗？如果我们将AO、BO、CO都连接，那么等边三角形ABC就分成了三个全等的三角形，分别是三角形AOB、三角形BOC和三角形AOC。于是三角形ABC的面积就等于三角形BOC面积的3倍。那么也就是3乘以二分之一乘以BC乘以OD。我们把3和二分之一交换，就等于二分之一乘以3乘以BC乘以OD。而3BC又为三角形ABC的周长。所以三角形ABC的面积等于二分之一乘以三角形ABC的周长乘以边心距。