师：同学们，今天我们来学习 21.2 解一元二次方程二——配方法。
学习目标有两个：一是掌握配方的基本步骤，会用配方法解一元二次方程；二是在探究用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想。学习重点是理解配方法的基本思想，会用配方法解一元二次方程。
上节课我们学习了直接开平方法解一元二次方程，现在通过练习回顾一下。第一题，用直接开平方法解下列方程。
第一小题，$x^2 = 9$，解：$x = ±3$，$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
第二小题，$(x - 2)^2 = 2$，解：开平方得$x - 2 = ±\sqrt{2}$，移项得$x = 2 ±\sqrt{2}$，$x_1 = 2 + \sqrt{2}$，$x_2 = 2 - \sqrt{2}$。
形如$x^2 = p$或$(x + n)^2 = p$的一元二次方程可以用直接开平方法求解。
第二小题，下列方程能用直接开平方法来求解吗？
第一小题，方程左边$x^2 - 4x + 4$，第一项是$x$的平方，末项看成是$2$的平方，中间项满足$x$与$2$乘积的两倍，所以方程可以转化为$(x - 2)^2 = 2$，这个方程形如$(x + n)^2 = p$的形式，所以可以用直接开平方方法来求解。
第二小题，方程左边$x^2 + 12x + 36$，第一项是$x$的平方，末项看成是$6$的平方，中间项满足$x$与$6$乘积的两倍，所以方程可以转化为$(x + 6)^2 = 9$。这个方程的左边是一个完全平方式，右边是一个常数，所以也可以用直接开平方方法来求解。
第三小题，方程左边$x^2 + 12x + 27$，与第二小题比较，我们发现$x^2 + 12x + 27$不能转化为一个完全平方式，所以不能用直接开平方方法来求解。那么能否把方程$x^2 + 12x + 27 = 0$转化为可以直接降次的形式再来求解呢？答案是可以的，我们只需将方程$x^2 + 12x + 27 = 0$中含$x$的项配成一个完全平方的形式。接下来我们来探究如何配成完全平方的形式。填上适当的数或式，使下列各等式成立。
我们知道完全平方公式是两数和或差的平方，等于这两个数的平方和加上或减去这两个数乘积的两倍。
第一小题，$(x + 3)^2 = x^2 + 3^2 + 2×x×3 = x^2 + 6x + 9$，所以这一个空填$3^2$。
第二小题，第一个数是$x$，第二个数与第一个数乘积的两倍是$8x$，所以第二个数是$8$的一半，即$4$，所以括号里面填$ + 4$，前面这一个空填$4^2$。
第三小题，第一个数是$x$，第二个数与第一个数$x$乘积的两倍是$-4x$，所以第二个数是$-4$的一半，即$-2$，所以括号里面填$ - 2$，前面这一个空填$(-2)^2$。
第四小题，第一个数是$x$，第二个数与第一个数$x$乘积的两倍是$px$，所以第二个数是$\frac{p}{2}$，所以括号里面填$ + \frac{p}{2}$，前面这一个空填$(\frac{p}{2})^2$。
通过这$4$个小题，我们发现了什么规律呢？应该怎么样配成完全平方的形式呢？方法点析：二次项系数为$1$时，如果常数项是一次项系数一半的平方，就刚好是一个完全平方式。
现在你会解方程$x^2 + 12x + 27 = 0$了吗？首先我们把常数项移到方程的右边，得$x^2 + 12x = -27$。方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$6^2$，得$x^2 + 12x + 6^2 = -27 + 6^2$，即$(x + 6)^2 = 9$。利用开平方降次得$x + 6 = ±3$，所以原方程的解为$x_1 = -3$，$x_2 = -9$。通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
例题讲解，例一，用配方法解方程$x^2 - 8x + 1 = 0$。
解：移项得$x^2 - 8x = -1$。
配方，方程两边加一次项系数一半的平方，即$4^2$，得$x^2 - 8x + 4^2 = -1 + 4^2$，即$(x - 4)^2 = 15$。
运用开平方降次得$x - 4 = ±\sqrt{15}$，$x_1 = 4 + \sqrt{15}$，$x_2 = 4 - \sqrt{15}$。
配方的关键是什么呢？配方的关键是当二次项系数为$1$时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
课堂练习一、用配方法解方程$x^2 - 8 = 2x$。
解：移项得$x^2 - 2x = 8$。
配方，方程两边加一次项系数一半的平方，即$1^2$，得$x^2 - 2x + 1^2 = 8 + 1^2$，即$(x - 1)^2 = 9$。
开平方降次得$x - 1 = ±3$，$x_1 = 4$，$x_2 = -2$。
例 2，用配方法解方程$2x^2 + 1 = 3x$。
解：移项得$2x^2 - 3x = -1$，这个方程与例一最大的区别在哪里呢？对的，二次项系数不为$1$，二次项系数不为$1$又怎么办呢？为了便于配方，需将二次项系数化为$1$，我们可以利用等式的性质，方程两边都除以二次项系数化为$1$，得$x^2 - \frac{3}{2}x = - \frac{1}{2}$。