师：同学们，今天我们一起来学习第26讲与圆有关的位置关系。本节课主要内容有：点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；切线的性质和判定；切线长定理；三角形的内切圆和外接圆。
首先来看点和圆的位置关系。在平面内，任给一个点和圆，它们之间可能有点在圆外、点在圆上、点在圆内这三种关系。如何判定呢？设圆的半径是r，点到圆心的距离是d。当d大于r时，点在圆外；当d等于r时，点在圆上；当d小于r时，点在圆内。也就是说，判定点和圆的位置关系，是通过d和r之间的大小关系来判定的。下面来看一道例题。
圆O的半径是5厘米，点P与圆心的距离是3厘米，求点P和圆O之间的位置关系。这是一道求位置关系的题目，要找到d和r并比较大小。已知r = 5，d = 3，d小于r，所以点P的位置关系是在圆内。下面看一道练习。
若圆O的半径是5，点A的坐标是(3, 4)，问点A和圆O的位置关系。要找到d和r，r已知是5，d就是OA之间的距离。在平面直角坐标系里，过点A往x轴做垂线段AB。由A点坐标(3, 4)可知，OB = 3，AB = 4。利用勾股定理，OA = 5，OA等于半径，所以点A的位置关系是在圆上。
好了，下面来看第二个知识点，直线和圆的位置关系。在平面内，任给一条直线和圆，它们之间的位置关系可能是相离、相切或者相交。如何判定呢？和点圆位置关系类似，设圆的半径是r，这里的d表示圆心到直线之间的距离。当d大于r时，直线和圆相离；当d等于r时，直线和圆相切；当d小于r时，直线和圆相交。从公共点个数看，相离时没有公共点；相切时，直线和圆有且只有一个公共点，这个唯一的公共点叫切点，这条直线称为切线；相交时，公共点个数是两个，这条直线称为割线。下面来看一道例题。
已知圆O的半径是5厘米，直线AB与圆心的距离是8厘米，问直线AB与圆O的位置关系。找到d和r，d = 8，r = 5，d大于r，所以直线AB与圆O的位置关系是相离。看一道练习，在Rt三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，利用勾股定理可求出AB = 5。现在以C为圆心，r为半径做一个圆，若这个圆与斜边AB恰好相切，已知位置关系，反过来求r的值。因为相切时d = r，d就是圆心C到直线AB的距离CD的长度。怎么求CD呢？可以利用面积法，(\frac{1}{2}AC×BC = \frac{1}{2}AB×CD)，所以(CD = 3×4÷5 = \frac{12}{5})。
接下来看第三个知识点，切线的性质和判定。首先是性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径。符号语言：因为直线BC切圆O于点A，所以OA垂直于BC。由切线的性质定理可知，若知道一条直线是切线，就能推出切线与过切点的半径垂直。判定定理是，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判定一条直线是圆的切线要同时满足两个条件：一是经过半径外端，二是垂直于这条半径。符号语言：OA是圆O的半径，OA垂直于BC，那么直线BC切圆O于点A。现在来看一道例题。
如图，三角形ABC是等腰三角形，AB = AC，点O是底边上的中点。读到这里，想到等腰三角形三线合一，连接AO后，AO与BC垂直，且AO平分∠BAC。继续读题，腰AB与圆O切于点D，求证腰AC也是圆O的切线。已知AB是切线，连接OD会有垂直。要判定AC是切线，AC与圆目前没看到公共点，判定切线需过半径外端且垂直，所以方法是过O点往AC做垂线段OE，只要证明OE是圆的半径，有垂直且过半径外端，AC就是切线。辅助线是做垂直OE，连接AO。
要证明AC是切线，需证明OE是半径，已知OD是半径，所以只要证明OE = OD。除了证明三角形全等，还可以利用角平分线的性质定理。因为已推出AO是∠BAC的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出OE = OD，即OE是半径。又因为点E在AC上，满足过半径外端，所以AC与圆O相切。来看书写过程，等腰三角形底边中点推出AO是角平分线，三线合一；由角平分线的性质定理得到OD = OE；OE是半径，点E在AC上，所以AC与圆O相切。下面看一道练习巩固一下。