师：同学们好，今天我们一起来学习人教版八年级下册第17章勾股定理的数学活动。我们的学习目标有两个：一是能用勾股定理解决一些简单的实际问题；二是通过构造直角三角形，运用勾股定理求出边长。
在生活中，比如坐地铁从公园前站到杨箕站，有两条路线选择。路线一是乘坐地铁1号线直接到达；路线二是先坐地铁2号线到广州火车站，再换乘5号线。路线一是直接解决问题，路线二是间接解决问题，这是人们解决问题常用的两种思维方式。一般优先选择直接解决，直接解决受阻时才考虑间接解决。今天这节课，我们就尝试用这两种思维方式解决实际问题。
来看这样一个问题，学校要测量旗杆高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段，但绳子长度未知。大家想想，有什么解决办法，和同学交流一下。
想要解决这个问题，先尝试直接测量旗杆高度，可根据题目条件显然做不到，那就考虑间接方法。题目提到绳子，我们就找绳子长与旗杆长的联系。发现绳子比旗杆长一部分，这部分能测量，假设测量多出的一段绳子长度为4米。若旗杆长度为x，那么绳子长度就是x + 4。如果能建立一个关于x的方程，求出x就能解决问题了。
怎么建立方程呢？从题目信息里找。我们发现旗杆与地面垂直，把旗杆设为线段AB，将绳子拉直当作斜边，设绳子末端与地面接触点为C，这样就构造出直角三角形了。同时可以测量出这个点到旗杆底部的距离，长度为9米，根据勾股定理就能建立方程解决问题。
根据分析，我们画出示意图，用符号语言表达问题：在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BC = 9，且AC比AB长4米，求AB的长度。下面大家跟着我一起用符号语言写解答过程。设AB为x米，根据题意，AC = AB + 4 = x + 4。在直角三角形ABC中，根据勾股定理，AB2 + BC2 = AC2，所以x2 + 92 = (x + 4)2 。将等式右边展开，得到x2 + 81 = x2 + 8x + 16 ，合并同类项得65 = 8x ，解得x = 65 / 8 。不要忘记作答，答：旗杆的长度为65 / 8米。
在解决实际问题时，我们通常要把实际问题转化为数学问题，再选取恰当数学模型。刚才这个问题，我们是通过构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解的。那还有其他构造直角三角形的方法吗？
我们发现取与旗杆一样长的绳子部分，将这部分绳子拉直绕旗杆顶点A旋转，转至绳子剩下部分刚好垂直接触地面时，设接触点为C，可量得BC长度为7米，过绳子折点E向旗杆作垂线段DE，这样就得到一个直角三角形和一个长方形。根据分析画出示意图。由长方形对边相等得出DE = 7，DB = 4，求旗杆AB的长度就转化为求斜边AE的长度。在直角三角形ADE中，已知一边DE，无法直接求出AE的长，所以设AB为x米，则AE = AB = x米，AD = x - 4米。在直角三角形ADE中，根据勾股定理，AD2 + DE2 = AE2 。代入数据得(x - 4)2 + 72 = x2 ，解这个方程同样可得x = 65 / 8 。
如果我们测量的是绳子折点E到旗杆底端的距离，也就是线段BE的长度，是否也能求解呢？这两个解决方案有什么异曲同工之处？大家再深入思考一下，还有没有别的方法解决这个实际问题？
在方案一中，我们把旗杆AB作为直角三角形的直角边，绳子作为斜边构造直角三角形。现在调整一下方案，将绳子绕着旗杆顶点A旋转，当转至绳子末端与地面接触点距离为1米时停止，设接触点为C，可以解决吗？假设旗杆长度为x，此时AC的长度为x + 3 。同时测量线段BC的长度，就能利用勾股定理建立方程解决问题。