师：同学们好，今天我们一起来学习第十三章小结。本节课的学习目标有两个：一是分析两个共顶点的等腰三角形图形的特点，并推导其结论；二是经历由特殊到一般的探究过程，了解研究几何图形的方法。本节课的学习重点是两个共顶点的等腰三角形结论的推导与灵活运用。首先，我们来做一组热身训练。
第一题，如图，已知∠ACB = ∠DCE，那么∠BCD与∠ACE的大小关系如何？观察图形，我们发现∠ACB与∠DCE共顶点且有重合部分。我们把重合部分记为∠1，旁边两个角分别记为∠2、∠3。因为∠ACB = ∠DCE，也就是∠1 + ∠2 = ∠1 + ∠3，两边同时减去∠1，所以∠2 = ∠3，即∠BCD = ∠ACE。将∠DCE绕点C旋转一个角度得到图2，此时∠BCD与∠ACE仍然相等吗？答案是仍然相等。我们把这三个角分别记为∠4、∠5、∠6，因为∠ACB = ∠DCE，即∠4 = ∠5，两边同时加上∠6，所以∠4 + ∠6 = ∠5 + ∠6，即∠BCD = ∠ACE。通过这道题目的解答，同学们有什么发现吗？我们可以发现两个相等的角加上或减去同一个角之后仍然相等。
请看第2题。如图，已知∠a = ∠b，那么∠c与∠d大小关系如何？观察图形，我们可以看到∠a、∠b、∠c和∠d分别在两个三角形中，另外一组角互为对顶角。所以我们可以利用三角形内角和定理或者三角形外角的性质来解决。解：AC与BD交于点O，我们将∠AOD和∠BOC分别记为∠1、∠2。因为∠1与∠2互为对顶角，所以∠1 = ∠2。又因为∠a + ∠d + ∠1 = 180°，∠c + ∠b + ∠2 = 180°，所以结合∠1 = ∠2，得到∠a + ∠d = ∠b + ∠c。又因为∠a = ∠b，所以∠c = ∠d。这道题我们还可以用外角的性质来解决。因为∠AOB是三角形AOD的一个外角，所以∠AOB = ∠a + ∠d，同时它也等于∠b + ∠c，所以∠a + ∠d = ∠b + ∠c。这个图形类似于数字“8”，所以我们把它称为“八字模型”，而∠a + ∠d = ∠b + ∠c，我们称为“八字模型”的结论。它揭示了当两个三角形中有一组角互为对顶角时，另外四个角之间的数量关系，可以帮助我们解决某些角度数的问题。
接下来请看例一。三角形ABC与三角形CDE都是等边三角形。第一问，如图，当点D、E分别在BC、AC边上时，试探究BD与AE的数量关系，并说明理由。观察图形，由等边三角形的性质，我们可以得到两组边对应相等，再两两相减即可得到BD = AE。具体解答过程如下：
解：BD = AE，理由如下，因为三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，所以BC = AC，DC = EC，两两相减，所以BC - DC = AC - EC，即BD = AE。
好，接下来请看第2问，将三角形CDE绕点C转到如图所示的位置，连接BD、AE，试探究BD与AE的数量关系，并说明理由。第二问是在第一问的基础上，三角形CDE的位置发生了改变，那BD与AE还相等吗？观察图形，我们可以猜测BD仍然等于AE。要证两条线段相等，常用的方法是证明它们所在的三角形全等，BD所在三角形为三角形BCD，AE所在三角形为三角形ACE，所以转化为证明三角形BCD全等于三角形ACE。由已知条件可以发现，AC = BC，DC = EC，所以我们还需要证它们的夹角相等，即证明∠1 = ∠2。由前面的热身训练可以发现，∠1、∠2可以由一组相等的角减去它们的公共角获得，即∠ACB - ∠ACD = ∠BCE - ∠ACD。在书写几何证明过程时，我们需要由下到上来书写。第一步证明∠1 = ∠2，第二步去证明三角形BCD全等于三角形ACE，最后再证明BD = AE。具体的解答过程如下：
解：BD = AE，理由如下，因为三角形ABC和三角形CDE为等边三角形，所以AC = BC，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = 60°，所以∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠1 = ∠2。所以在三角形BCD和三角形ACE中，BC = AC，∠1 = ∠2，CD = CE。所以三角形BCD全等于三角形ACE（判定方法是SAS），所以BD = AE。
好，我们来进行一下方法总结。要证两条线段相等，我们用的方法是证它们所在的三角形全等。同学们，这个方法你掌握了吗？我们来做一道练习题试试，如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，且点B、C、E在同一直线上，连接BD、AE，求证BD = AE。
这里同样我们需要证明BD = AE，即要证它们所在的三角形全等，三角形BCD全等于三角形ACE。我们第一步证∠BCD = ∠ACE，第二步证三角形BCD全等于三角形ACE，最后得到AE = BD。具体证明过程如下，本道题的证明过程和例题类似，所以同学们花几秒钟时间一起看一下。
下面我们将例题和练习的图形放到一起进行比较，你有什么发现吗？这两个图形的区别在于三角形DCE的位置发生了变化，但是我们都能得到三角形BCD全等于三角形ACE，从而推出BD = AE。所以我们可以得到结论，两个共顶点的等边三角形在相对位置发生变化时始终存在一对三角形全等。