师：同学们，今天我们学习反比例函数的图像和性质。第一课时的学习目标，一是会用描点法画出反比例函数的图像，并归纳其图像特征和性质；二是在类比探究中体会分类讨论、数形结合以及从特殊到一般的数学思想。学习重点是通过反比例函数的图像，结合解析式探究其性质。
师：请同学们回忆，上节课学的反比例函数解析式是什么？
生：$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）。
师：其中自变量$x$的取值范围是什么？函数$y$的取值范围是什么？
生：$x \neq 0$。由于$k \neq 0$，所以$y$也不等于$0$。
师：反比例函数的三种常见形式是什么？
生：$y = \frac{k}{x}$可变形为$xy = k$，也可变形为$y = kx^{-1}$，其中$k$都不为$0$。
师：我们知道一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，那么反比例函数的图像是什么呢？用什么方法画反比例函数的图像？根据$k$的正负不同应该如何分类讨论？我们回顾一下之前探究正比例函数的图像和性质，因为$y = kx$（$k \neq 0$），分成了$k > 0$和$k < 0$两种情况进行分类讨论。今天研究反比例函数，不妨也分成$k > 0$和$k < 0$两种情况。首先，我们探究反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像。请看例题，画出反比例函数$y = \frac{6}{x}$和$y = \frac{12}{x}$的图像。还记得函数图像的画法吗？
生：用描点法，分为三步：列表、描点、连线。
师：接下来请同学们按下暂停键，自己先去画一画。
（一段时间后）
师：相信同学们都已画好，请看老师的示范。首先画反比例函数$y = \frac{6}{x}$的图像。第一步列表，由于$x \neq 0$，但可以以$0$为分界左右均匀对称地取值。为了便于计算，$x$的取值可为$\pm1$、$\pm2$、$\pm3$、$\pm4$、$\pm6$。代入解析式算出对应的$y$值。第二步描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点。第三步连线，用平滑的曲线顺次连接这些点，这就是$y = \frac{6}{x}$的图像。
师：用同样的方法，我们来画反比例函数$y = \frac{12}{x}$的图像。第一步列表，由于$x \neq 0$，以$0$为分界左右均匀对称地取值，代入解析式算出对应的$y$值。第二步描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点。第三步连线，用平滑的曲线顺次连接这些点，这就是$y = \frac{12}{x}$的图像。
师：有了图像，我们就能研究它的图像特征和性质了。接下来打算从哪些方面去探究反比例函数的图像特征呢？我们可以类比之前探究正比例函数$y = kx$（$k > 0$）图像特征的方法，从形状、位置、变化趋势三个方面进行探究。以$y = \frac{6}{x}$和$y = \frac{12}{x}$为例，它们的形状是什么呢？
生：它们的图像由两条曲线组成，形状是双曲线。
师：它们的位置呢？
生：图像分别位于第一、第三象限。由于$x \neq 0$且$y \neq 0$，图像不经过原点，是分开的两支，与坐标轴越来越靠近，但不相交。
师：接下来研究变化趋势，以$y = \frac{6}{x}$为例，因为反比例函数的图像是分开的两支，所以要在每一个象限内研究随着$x$的增大，$y$如何变化。我们用数形结合的方法来探究。先看第三象限图像的变化趋势，由列表中的数值可知，当$x$的值由$-6$增大到$-3$增大到$-1$时，对应的函数值$y$由$-1$减小到$-2$，减小到$-6$。所以在第三象限，当$x$取值逐渐增大时，由解析式计算出来的$y$值逐渐减小。从图像上看，在第三象限内，从左向右看，图像是下降的，所以由数形结合可得在第三象限内，$y$随$x$的增大而减小。再探究第一象限图像的变化趋势，由列表中的数值可知，当$x$的值由$1$增大到$3$增大到$6$时，对应的函数值$y$由$6$减小到$2$减小到$1$。所以在第一象限，当$x$取值逐渐增大时，由解析式计算出来的$y$值逐渐减小。从图像上看，在第一象限内，从左向右看图像是下降的，所以由数形结合可知，在第一象限内，$y$也随$x$的增大而减小。同样，对于$y = \frac{12}{x}$的图像，在第三象限内，$y$随$x$的增大而减小；在第一象限内，$y$也随$x$的增大而减小。所以这两个函数在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。对于所有的反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k > 0$），能得出同样的结论吗？通过观看视频，请总结$y = \frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像特征和性质。
（一段时间后）
师：当$k$取$1$到$10$之间的任意常数时，反比例函数的图像一直位于第一、第三象限。我们用点追踪观察到第三象限图像上的点对应的$x$值逐渐增大时，$y$值逐渐减小；第一象限图像上的点对应的$x$值逐渐增大时，$y$值也逐渐减小。从特殊到一般，我们归纳得到反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像特征和性质如下：一、函数图像分别位于第一、第三象限；二、由于图像是分开的两支，注意在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小。能由函数的解析式说明这些结论吗？