师：今天我们一起学习能量守恒定律以及功能关系的应用。首先对本章知识进行梳理，认识功和能的关系。
这章我们先学习了功的定义，(W = FS\cos\alpha)，还研究了一些力做功的特点，像重力做功与路径无关。变力做功可以采用微元法或者动能定理求解。我们也学习了能量，包括动能、重力势能和弹性势能。
功和能是有关系的，动能定理揭示了合力做功与物体动能增量的关系，合力做功等于物体动能的增加。重力做功与重力势能也有关系，重力做功等于物体重力势能的减少。
在只有重力做功以及弹力做功的前提下，物体或系统的机械能守恒。所有能量在相互转化和转移时都满足能量守恒规律。通过这章学习，我们对功和能有了深刻认识，它也为我们解决运动和力的问题提供了更多思路。
高中知识很大一部分是解决运动与力的问题，必修一我们学了运动，如位移、速度、时间、加速度等物理量的关系，还学了力，像重力、弹力、摩擦力等力的运算规则。解决这类问题，既可以从运动学公式求出加速度，再带入牛顿第二定律求解合力，进而求出其他力；也可以从力通过牛顿第二定律求出加速度，再带入运动学公式求解位移、速度等运动学量。
通过这章学习，我们发现利用动能定理可直接将运动和力联系起来，主要是运动学的位移和速度与力联系，且这里的力还可以是变力。机械能守恒以及能量守恒同样能达到此效果。应用动能定理、机械能守恒以及能量守恒，相较于运用牛顿第二定律解决问题更具优势。动能定理可应用于多个过程，机械能守恒以及能量守恒不仅可应用于多个过程，还能以系统为研究对象。
接下来通过例题理解刚才所讲内容。第一道题，如图所示，在竖直平面内有一半径为(r)的圆弧轨道，半径(OA)水平，(OB)竖直。一个质量为(m)的小球，自(A)点正上方(P)点由静止开始自由下落。小球沿轨道达到最高点(B)时，对轨道的压力是(\frac{1}{2}mg)。已知(AP = 2R)，重力加速度取(g)，问小球从(P)到(B)这个运动过程中，(A)、(B)、(C)、(D)四个选项哪一个正确？
先来分析题目，自由下落意味着无空气阻力，(B)点受力情况已知，可通过受力分析求(B)点速度大小。题目没说圆弧轨道光滑，所以默认轨道有摩擦，且轨道上摩擦力是变力。
逐一分析选项：
(A)选项，重力做功。重力做功只看高度变化，从(P)到(B)，小球高度下降了(h = r)，重力做正功，(W_{G}=mgh = mgr)，所以(A)选项错误。
(B)选项，求合力做功。求合力做功可根据功的定义，合力乘以位移乘以(\cos\alpha)，但这里摩擦力是变力，此方法不现实。还可根据动能定理，合力做功等于末动能减去初动能。取(P)点为初，(B)点为末，(V_{0}=0)，(V_{T}=V_{B})未知，所以需求出(B)点速度(V_{B})。以球为研究对象，在(B)点时，球对轨道压力(N_{1}'=\frac{1}{2}mg)，根据牛顿第三定律，轨道对球的作用力(N = N_{1}'=\frac{1}{2}mg)，球还受重力(mg)，则球在(B)点所受合力(mg + N = m\frac{V_{B}^{2}}{r})，把(N=\frac{1}{2}mg)带入可求出(V_{B}=\sqrt{\frac{3}{2}gr})。合力做的功(W_{合}=\frac{1}{2}m V_{B}^{2}-0)，将(V_{B}=\sqrt{\frac{3}{2}gr})带入，解得(W_{合}=\frac{3}{4}mgr)，所以(B)选项正确，这道题选(B)。
(C)选项，求克服摩擦力做功。因为摩擦力是变力，应用动能定理求解。对小球从(P)到(B)过程应用动能定理，此过程中小球受重力、支持力和摩擦力，支持力不做功，重力做功(W_{G}=mgr)，设摩擦力做功(W_{F})，根据动能定理(W_{G}+W_{F}=\frac{1}{2}m V_{B}^{2}-0)，(V_{B}=\sqrt{\frac{3}{2}gr})，(W_{G}=mgr)带入解得(W_{F}=-\frac{1}{4}mgr)，即克服摩擦力做功为(\frac{1}{4}mgr)，所以(C)选项错误。