师：很高兴和大家一起学习人教版八年级下册第17章17.1第5课时勾股定理的综合应用。在开始新课前，我们先来看本节课的学习目标。目标一是会运用勾股定理作出长度为无理数的线段，并在数轴上画出表示无理数的点；目标二是会运用勾股定理证明直角三角形全等的斜边、直角边判定定理。前面的课我们已经学习了勾股定理及其简单应用，这节课我们来看看勾股定理还有哪些广泛的综合运用。
请看问题一：如图，在平面直角坐标系中有两点A(3, 0)和B(0, 2)，求这两点之间的距离。相信很多同学已经有解决方法了。在坐标系中，根据坐标可知OA的长度为3，OB的长度为2，且∠AOB = 90°。于是我们可以运用勾股定理来求AB的长度。根据勾股定理，AB = √(OA2 + OB2) = √(32 + 22) = √13。所以A、B两点之间的距离为√13。
通过问题一，我们复习了在平面直角坐标系中根据坐标求两点之间线段长度的问题。那么勾股定理还有哪些其他作用呢？我们来看问题二。我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示√13的点吗？七年级时我们学过在数轴上表示有理数，但√13是无理数。如果能找出一条线段长度等于√13，就能在数轴上画出表示√13的点。
从问题一我们得到启示，如果一个直角三角形的两个直角边长分别是2和3，那么它的斜边就是√13。知道了AB的长度，接下来要把这个线段表示在数轴上，问题就解决了。但如果没有例题一的示范引领，要得到一个斜边长为√13的线段，怎么求另外两条直角边呢？借助勾股定理的表达形式，我们把√13的平方拆分成两个正整数的平方和。√13的平方等于13，13可以拆分成9 + 4，刚好是3与2这两个正整数的平方和，这样就得到两个直角边长分别是3和2，问题解决了。需要注意，13还可拆分为1 + 12、3 + 10等，但其他组合无法得到两个正整数的平方和，不利于下一步作图。
接下来看具体作图过程：步骤一，在数轴上找出表示3的点A，则OA = 3；步骤二，过点A做直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB = 2。此时OB的长度就等于√13。然后以原点O为圆心，OB为半径做弧，与数轴的交点C即为表示√13的点。
总结一下步骤，第一步和第二步是构造一个直角三角形，使它的斜边为√13；第三步是将√13的长度表达在数轴上，得到表示√13的点。同学们掌握了吗？如果还有疑惑，我们来看下一个问题。在问题2的基础上，能否用同样的方法在数轴上画出表示√2、√3、√4、√5、√6、√7的点呢？观察这组数据，√4 = 2，题目说用同样方法，即要拆分√4，似乎有点奇怪，先放一下，看看其他几个数据。√2最简单，七年级时我们就知道如果一个直角三角形的两个直角边长都是1，它的斜边就是√2，从拆分角度看，√2的平方拆分为12 + 12。再看√5，√5的平方拆分后是1与2这两个正整数的平方和，所以当斜边为√5时，另外两个直角边就是1和2。接下来遇到点困难，先从最简单的√3开始，√3的平方等于3，3可以拆分成1和2的和，变成1与√2的平方和。注意，√2虽不是正整数，但可借助前面画√2的方法来作图，这样√3也有办法解决了。有了√3，√4的拆分是不是同样方法呢？√4的平方可以拆分为1与√3的平方和，借助前面√3的作图，就能得到表示√4的点。此时√5相当于是1与√4的平方和，借助前面的点能表达出√5。同理，√6拆分为1与√5的平方和，借助√5的作图可做出√6。依此类推，还能继续得到后面的点。
来看具体作图过程：首先在数轴上构造第一个直角三角形，它的两个直角边长都为1，则斜边为√2。接下来以O为圆心，√2为半径作弧与数轴交点，就是表示√2的点。然后利用√2来做表示√3的点，从√2的位置处向上做一个直角边长为1的直角三角形，再画弧与数轴相交的点就是表示√3的点。下一步借助√3的点向上做另一直角边长为1的直角三角形，再次画弧与数轴相交，就得到表示√4（也就是2）的点。接着借助√4向上做另一直角边长为1的直角三角形，再次画弧，就能在数轴上画出表示√5的点。依此类推，继续作图可得到表示√6、√7的点，理论上甚至能得到表示√n的点。