师：今天我们学习人教版八年级下册第20单元20.2数据的波动程度第一课时。在学习本节课内容之前，我们来看一下学习目标。一、经历方差的形成过程，理解方差的意义，会计算简单数据的方差。二、能够运用方差判断数据的波动程度。统计问题与生活决策密切相关。接下来我们看一个情境问题：现要从甲乙两名射击选手中挑选一人参加比赛，若你是教练，挑选哪一位选手比较合适呢？作为教练，当然希望理想中的选手每次都能打10环，但实际上选手成绩不可能保持稳定不变。教练就遇到了下面这种情况：从表中可以看出，甲乙两选手的成绩都有些波动。作为教练，当然要选成绩好的选手，怎样鉴别呢？我们可以用已经学过的统计量来进行对比，分别观察甲乙两选手的平均数、中位数、众数。首先对比平均数，都是8；再看中位数，还是8；众数总算有点不一样了，甲是8，乙是10和6，但这没什么用，完全分不出谁好谁坏。怎么办呢？挑选成绩稳定的选手，要是选手成绩忽上忽下，教练可受不了。
怎么挑呢？直接观察表中数字，甲的成绩看上去波动不大，7和9都比较接近平均数8。相比而言，乙的波动程度就比甲大一些，虽然有漂亮的10环，但接着冒出的6环就让教练难受了。如果只看数字，说服力差点，还有一个办法就是借助统计图表查看波动程度，折线统计图就是最好的工具。由折线统计图我们可以观察得更清楚，甲选手的成绩波动程度小，较为稳定；乙选手的成绩波动程度大，不够稳定，于是可以选甲了。
接下来老师提出一个思考：对任意一个实际问题，仅观察表格或折线统计图来分析数据的波动程度，一定可行吗？那可不一定。刚才的例子只有5个数据，比较简单，方便我们直接观察，也方便画统计图。在课本111页之前的章前言有一个玉米种子的产量问题，看了表格中小数点后第二位的数字，相信同学们都感到头疼了。这一题中，每组只有10个数据，画出折线统计图还能大致看出波动程度的大小。如果数据量再大点，统计人口之类的问题，成千上万个数据根本没办法直观从数字和图表上看出来。事实上，无论是观察数据，还是通过统计图表来进行分析，都只能得到一个大概的直观感受。那能否用某个统计量来准确衡量数据的波动程度呢？
接下来我们寻找一个统计量来分析数据的波动程度。还以射击这题为例，我们观察到甲乙两选手的平均数都为8，也就是说每个数据都以8为参照来上下波动。我们先把甲的每个数据都减去8，得出与平均成绩的偏差值，再把这些偏差值累加起来，结果是0。怎么回事？明明有偏差，累计起来怎么会得0呢？再算一下，乙的偏差的和也为零，一定出了什么问题。具体分析一下，甲数据中7与9都发生了偏差，只不过相加之后 -1与1互相抵消了，两个不稳定的数据居然合起来变成稳定了。再看乙的数据也是这样的情况，2与 -2的偏差也互相抵消，这明显不合理。那么怎样消除正负偏差互相抵消的问题呢？要想避免正负偏差互相抵消，不就是把负数变成正数嘛。
这个我们早就学过，可以求绝对值，还可以求平方和。事实上统计学家们这两种方法都试过，都是可行的。不过由于在许多问题中含有绝对值的式子不便于计算，因此此种方法应用不够广泛，留到后面的课程学习中再来介绍。今天我们要重点研究后一种方法——求平方和。通过计算，甲射击成绩与平均成绩的差距平方和等于2，乙的差距的平方和等于16。成绩波动程度小的甲差距的平方和小，波动程度大的乙差距的平方和大，似乎很和谐。那么是不是大功告成了？这个差距的平方和可以作为数据波动的判断指标吗？很遗憾，这个差距的平方和还有一个致命的弱点，我们一起来看下面的例子。
我们来看两组数据，第一组由500个 -1和500个1组成，第二组由5个 -3和5个3组成。两组数据的平均数都为0。第一组，每个数据与平均数的差距为正负1；第二组每个数据与平均数的差距为正负3。显然，第一组数据的波动程度小于第二组数据的波动程度。计算差距的平方和，第一组数据的值为1000，第二组数据的值为90。结果居然是第一组大于第二组，波动程度大的组反而小，这矛盾了，什么原因导致的呢？原因在这里，两组数据的个数不同，1000对上10，只要数据的个数足够大，再小的波动累积起来也会非常大。很显然，我们必须要消除数据个数的影响，于是我们将差距的平方和除以数据的个数，即求平均差距。再来算一下，第一组1000除以数据的个数1000得1，第二组90除以数据的个数10等于9，波动程度大的第二组，计算结果也较大，完美。好不容易得到了这个靠谱的指标，接下来我们把这个过程总结一下：设有n个数据，(X_1)，(X_2)，一直到(X_n)。首先我们求出这组数据的平均数。接下来将每个数据与平均数做差。再接着求出这组数据差值的平方和。最后除以数据的个数n，就得到了判断一组数据的波动程度的指标。统计学中把这个指标命名为方差，记作(S^2)。
接下来我们回到刚才的问题中，计算一下两位选手的方差。带入到方差的计算公式，甲的方差等于0.4，乙的方差等于3.2。甲的方差小对应着甲的成绩波动程度小，而乙的方差大，它的波动程度大。用统计中借助样本估计总体的思想，还是选择甲更稳定一些。教练的问题解决了，在这个问题的分析过程中，我们也得到了新的统计量——方差。让我们进一步认识方差的概念：设有n个数据，(X_1)，(X_2)，(X_n)，各数据与它们的平均数的差的平方分别是((X_1 - \overline{X})^2)，((X_2 - \overline{X})^2)，((X_n - \overline{X})^2)。我们用这些值的平均数，即上述平方的和，再除以n，并把它叫做这组数据的方差，记作(S^2)。知道了方差的概念和它的计算式，我们还要理解方差这个统计量的意义。方差用来衡量一组数据的波动大小，即这组数据偏离平均数的离散程度，方差越大，数据的波动程度越大；方差越小，数据的波动程度越小。让我们通过一组基础应用题来进一步认识方差。